TOÁN THCS BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)

A: LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:

Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
         
Ở cấp THCS, Tài liệu Toán  xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:

• Với \(a,b \ge 0\) thì \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)   , Dấu “ = “  khi và chỉ khi  \(a = b\) 
• Với \(a,b,c \ge 0\)  thì \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)  , Dấu “ = “ khi và chỉ khi \(a = b = c\)   

B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC

Bài 1: Cho \(x,y,z \ge 0\), CMR : \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\)
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số \(x,y \ge 0\), ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) ,
Làm tương tự ta sẽ có :  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z \ge 2\sqrt {yz} }\\{z + x \ge 2\sqrt {zx} }\end{array}} \right.\), Nhân theo vế ta được: \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{y = z}\\{z = x}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle x = y = z\)    
Bài 2: Cho\(a,b,c > 0\)  và \(abc = 1\) , CMR: \(\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) \ge 8\)
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm \(a,1\) , ta có : \(a + 1 \ge 2\sqrt a \) 
Tương tự ta sẽ có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b + 1 \ge 2\sqrt b }\\{c + 1 \ge 2\sqrt c }\end{array}} \right. =  > \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) \ge 8\sqrt {abc}  = 8\)     
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:  \(a = b = c = 1\)  
Bài 3: Cho \(a,b\)  không âm. CMR: \(\left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) \ge 4ab\)
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm \(a,b\) , ta có : \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)  
Tương tự : \(ab + 1 \ge 2\sqrt {ab} \)  , nhân theo vế ta được : \(\left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) \ge 4ab\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{ab = 1}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = b = 1\)   
Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3\)
HD:
Ta có: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}} = 3\), Dấu bằng khi \(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x} =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = yz}\\{{y^2} = xz}\\{{z^2} = xy}\end{array}} \right. =  > x = y = z\)
Bài 5: CMR: \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} \ge 4abcd\), Với mọi \(a,b,c,d\)      
HD :
Vì \({a^4},{b^4},{c^4},{d^4}\) là 4 số dương => \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} \ge 4\sqrt[4]{{{{\left( {abcd} \right)}^4}}} = 4abcd\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi \(a = b = c = d\)     
Bài 6: Cho \(a,b,c,d > 0;abcd = 1\) . CMR  :\({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ab + cd \ge 6\)
HD :
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} \ge 2ab}\\{{c^2} + {d^2} \ge 2cd}\end{array}} \right. =  > {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ab + cd \ge 3\left( {ab + cd} \right) \ge 3.2\sqrt {abcd}  = 6\)       
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Bài 7: CMR: \(\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c}\)
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số không âm  \(\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}};\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\) , ta có : \(\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \ge 2.\frac{a}{c}\),
Tương tự : \(\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge 2.\frac{b}{a}\), và \(\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \ge 2.\frac{c}{b}\)
Cộng theo vế ta được :  \(2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) \ge 2\left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \right) =  > VT \ge VP\)   
Dấu “ = “ xảy ra khi: \(a = b = c\)    
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: \(\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\)
HD :
Ta có : \(\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = c\left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) \ge 2c\),
Tương tự ta có : \(\frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} = a\left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right) \ge 2a\) và  \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} = b\left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) \ge 2b\)
Cộng theo vế ta được : \(2VT \ge 2VP\)
Bài 9: Cho \(a,b,c > 0\). CMR : \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số \({a^2},{b^2} > 0\)  , ta có : \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\)   
Làm tương tự ta sẽ có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{b^2} + {c^2} \ge 2bc}\\{{c^2} + {a^2} \ge 2ca}\end{array}} \right. =  > VT \le \frac{a}{{2ab}} + \frac{b}{{2bc}} + \frac{c}{{2ca}} = \frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)    Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{b = c}\\{c = a}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = b = c\)   
Bài 10: CMR: Với mọi \(a,b,c > 0\) , thì \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)
HD:
Áp dụng Cô si cho ba số \(a,b,c > 0\) , ta có : \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}\)
Nhân theo vế ta có: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = c}\\{\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = b = c\)      
Bài 11: Cho \(a,b,c \ge 0\) và \(a + b + c \le 3\),
CMR :  \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} + \frac{c}{{1 + {c^2}}} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}\)
HD:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + {a^2} \ge 2a}\\{1 + {b^2} \ge 2b}\\{1 + {c^2} \ge 2c}\end{array}} \right. =  > \frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} + \frac{c}{{1 + {c^2}}} \le \frac{a}{{2a}} + \frac{b}{{2b}} + \frac{c}{{2a}} = \frac{3}{2}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + a = x}\\{1 + b = y}\\{1 + c = z}\end{array}} \right. =  > x + y + z = a + b + c + 3 \le 6\) => \(B = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{3}{2}\),
Khi đó: \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9 =  > \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}} \ge \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\)
HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :\(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a + b}\\{y = b + c}\\{z = c + a}\end{array}} \right. =  > 2\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) \ge 9\)
\(\left\langle  =  \right\rangle \frac{{a + b + c}}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} \ge \frac{9}{2}\) \(\left\langle  =  \right\rangle \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\)
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: \(\frac{a}{{b + 1}} + \frac{b}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\)
HD :
\(VT = \left( {\frac{a}{{b + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{b}{{a + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{a + b}} + 1} \right) - 3 = \left( {a + b + 1} \right)\left( {\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) - 3\)
  \( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) - 3 \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\)
Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{c + a - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\)
HD :
Ta có : \(VT \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{abc}}{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}}}}\)
Lại có : \(\left( {b + c - a} \right) + \left( {c + a - b} \right) \ge 2\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)} \)
\( =  > 2c \ge 2\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)} \), Tương tự ta có :
\(a \ge \sqrt {\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \) và \(b \ge \sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)
=> \(abc \ge \left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)\) => \(\frac{{abc}}{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}} \ge 1 =  > VT \ge 3\sqrt[3]{1} = 3\)
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: \(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2abc}}\)
HD :
Co si cho hai số : \({a^2},bc\), Ta được: \({a^2} + bc \ge 2a\sqrt {bc}  =  > \frac{1}{{{a^2} + bc}} \le \frac{1}{{2a\sqrt {bc} }} =  > \frac{2}{{{a^2} + bc}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}}} \right)\)
Tương tự ta có :
\(\frac{2}{{{b^2} + ac}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}}} \right)\) và \(\frac{2}{{{c^2} + ab}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ca}} + \frac{1}{{cb}}} \right)\)
Cộng theo vế ta được : \(2VT \le \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = \frac{{a + b + c}}{{abc}} =  > VT \le \frac{{a + b + c}}{{2abc}}\)
 
Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM

1. Nhận dạng xử lý:
- Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
- Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau.
2. Phương pháp :
            - Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra
dấu bằng.
- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý.

Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số

Bài 1: Cho \(a \ge 2,CMR:a + \frac{1}{a} \ge \frac{5}{2}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :  a = 2 => \(\frac{1}{a} = \frac{1}{2} = k.a = k.2 =  > k = \frac{1}{4}\)
Khi đó ta có :  \(a + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{a}{4} + \frac{{3a}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{4a}}}  + \frac{{3a}}{4} = 1 + \frac{{3a}}{4} \ge 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)
Dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{a} = \frac{a}{4}}\\{a = 2}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = 2\)     
Bài 2: Cho \(a \ge 3\), Tìm GTNN của: \(S = a + \frac{1}{a}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : \(a = 3 =  > \frac{1}{a} = \frac{1}{3} = k.3 =  > k = \frac{1}{9}\)       
Khi đó ta có : \(S = \left( {\frac{1}{a} + \frac{a}{9}} \right) + \frac{{8a}}{9} \ge \frac{2}{{\sqrt 9 }} + \frac{{8.3}}{9} = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{10}}{3}\)       
Vậy Min \(S = \frac{{10}}{3}\)
Bài 3: Cho \(x \ge 1\), Tìm GTNN của: \(A = 3x + \frac{1}{{2x}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi \(x = 1 =  > \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{2} = k.3 =  > k = \frac{1}{6}\)
Khi đó : \(A = \left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{{3x}}{6}} \right) + \frac{{5x}}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{5.1}}{2} = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\)
Bài 4: Cho a, b > 0, \(a + b \le 1,CMR:a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 5\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 1}\\{a = b}\end{array}} \right. =  > a = b = \frac{1}{2} =  > \frac{1}{a} = 2 = k.\frac{1}{2} =  > k = 4\)
Khi đó : \(VT = \left( {\frac{1}{a} + a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + b} \right) = \left( {\frac{1}{a} + 4a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + 4b} \right) - 3\left( {a + b} \right)\)
\( \ge 2\sqrt 4  + 2\sqrt 4  - 3\left( {a + b} \right)\), Mà \(a + b \le 1 =  >  - 3\left( {a + b} \right) \ge  - 3\)
                                                  \( =  > VT \ge 4 + 4 - 3 = 5\)
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : \(x \ge 3;y \ge 3\) .
Tìm GTNN của biểu thức : \(A = 21\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\)     
HD :
Bài 6: Cho \(x > 2y > 0,\)Tìm GTNN của: \(P = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}\)
HD :
Ta có : \(P = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\), đặt \(\frac{x}{y} = a =  > a \ge 2 =  > P = a + \frac{1}{a}\)
Dự đoán dấu bằng khi :  \(a = 2 =  > \frac{1}{a} = \frac{1}{2} = k.2 =  > k = \frac{1}{4} =  > P = \left( {\frac{1}{a} + \frac{a}{4}} \right) + \frac{{3a}}{4}\)
  \(P \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{3.2}}{4} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)
Bài 7: Cho a\( \ge \)10, b\( \ge \)100, c\( \ge \)1000, Tìm GTNN của: \(A = a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :  \(a = 10 =  > \frac{1}{a} = \frac{1}{{10}} = k.10 =  > k = \frac{1}{{100}}\), Tương tự với b và c,
Khi đó ta có :
\(B = \left( {\frac{1}{a} + \frac{a}{{100}}} \right) + \frac{{99a}}{{100}} \ge \frac{2}{{\sqrt {100} }} + \frac{{99.10}}{{100}} = \frac{{101}}{{10}}\), Tương tự với b và c
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le 1\),
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
          Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\), Khi đó \(P = \left( {\frac{1}{a} + 9a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + 9b} \right) + \left( {\frac{1}{c} + 9c} \right) - 8\left( {a + b + c} \right)\)
\(P \ge 2\sqrt 9  + 2\sqrt 9  + 2\sqrt 9  - 8\left( {a + b + c} \right)\) Mà \(a + b + c \le 1 =  >  - 8\left( {a + b + c} \right) \ge  - 8\)
Vậy \(P \ge 6 + 6 + 6 - 8 = 10\)
Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le \frac{3}{2}\), 
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi : \(a = b = c = \frac{1}{2} =  > P = \left( {\frac{1}{a} + 4a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + 4b} \right) + \left( {\frac{1}{c} + 4c} \right) - 3\left( {a + b + c} \right)\)
          \(P \ge 4 + 4 + 4 - 3.\frac{3}{2} = \frac{{15}}{2}\)
Bài 10: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le 1\), 
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)
          Khi đó: \(P = \left( {18a + \frac{2}{a}} \right) + \left( {18b + \frac{2}{b}} \right) + \left( {18c + \frac{2}{c}} \right) - 17\left( {a + b + c} \right)\) \( =  > P \ge 19\)
Bài 11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: \(a + b \le 1\), Tìm GTNN của: \(S = ab + \frac{1}{{ab}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : \(a = b = \frac{1}{2} =  > \frac{1}{{ab}} = 4 = 16ab\)
Khi đó ta có : \(S = \left( {16ab + \frac{1}{{ab}}} \right) - 15ab \ge 2\sqrt {16}  - 15ab\)
mà \(a + b \ge 2\sqrt {ab}  =  > 1 \ge 2\sqrt {ab}  =  > ab \le \frac{1}{4} =  >  - 15ab \ge \frac{{ - 15}}{4}\)
Vậy \(S \ge 2.4 - \frac{{15}}{4} = 8 - \frac{{15}}{4} = \frac{{17}}{4}\)
Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn: \(x + y = 4\), Tìm GTNN của: \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)
HD :
Dự đoán dấu = khi: \(x = y = 2\) khi đó: \(P \ge 2xy + \frac{{33}}{{xy}}\), nên \(2xy = 8 = \frac{k}{4} =  > k = 32\) khi đó:
 \(P = 2xy + \frac{{32}}{{xy}} + \frac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {64}  + \frac{1}{{xy}}\), Mà: \(\frac{1}{{xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{1}{4} =  > P \ge 2.8 + \frac{1}{4}\)
Bài 13: Cho \({\rm{a}},b > 0,{\rm{a}} + {\rm{b}} = 1\) , Tìm GTNN của \(P = {a^2} + {b^2} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\)  
HD:
          Dấu = khi \(a = b = \frac{1}{2}\)  
          Ta có: \(P = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge 2ab + \frac{2}{{ab}} = 2ab + \frac{1}{{8ab}} + \frac{{15}}{{8ab}} \ge 2.\frac{1}{{\sqrt 4 }} + \frac{{15}}{{8ab}}\)  
          Mà \(1 = a + b \ge 2\sqrt {ab}  =  > ab \le \frac{1}{4} =  > \frac{1}{{ab}} \ge 4 =  > \frac{{15}}{{8ab}} \ge \frac{{15}}{2}\) , Thay vào P ta được:
          \(P \ge 1 + \frac{{15}}{2} = \frac{{17}}{2}\)           
Bài 14: Cho \(a,b > 0\) . Tìm GTNN của: \(P = \frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + b}}{{m\sqrt {ab} }} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}}\\{a = b}\end{array}} \right. =  > m = 4\)
Khi đó ta có :  \(P = \frac{{a + b}}{{4\sqrt {ab} }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} + \frac{3}{4}.\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} \ge 2\sqrt {\frac{1}{4}}  + \frac{{3.2\sqrt {ab} }}{{4\sqrt {ab} }} = 1 + \frac{{3.2}}{4} = \frac{5}{2}\)      
Bài 15: Cho \(x > 0\) , Tìm GTNN của \(A = 4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2019\)   
HD :
          Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi \(x = \frac{1}{2}\)  
          Biến đổi \(A = \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + x + \frac{1}{{4x}} + 2018 \ge {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2\sqrt {\frac{1}{4}}  + 2018 = 2019\).     

Bài 16: Cho \(a,b > 0,a + b = \frac{5}{4}\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{4}{a} + \frac{1}{{4b}}\)   
HD :
ấm máy tính, Tìm điểm rơi là : \(a = 1;b = \frac{1}{4}\)  
          Khi đó : \(A = \left( {4a + \frac{4}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{{4b}}} \right) - 4\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt {16}  + 2\sqrt 1  - 4.\frac{5}{4} = 5\) 
Bài 17: Cho \(a + b > 0,a + b \ge 6\) , Tìm GTNN của \(A = 3a + 2b + \frac{6}{a} + \frac{8}{b}\)  
HD :
          Bấm máy, tìm điểm rơi là : \(a = 2;b = 4\)  
          Khi đó ta có :
\(A = \left( {3a + \frac{6}{a}} \right) + \left( {2b + \frac{8}{b}} \right) = \left( {\frac{6}{a} + \frac{{3a}}{2}} \right) + \left( {\frac{8}{b} + \frac{b}{2}} \right) + \frac{3}{2}\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt 9  + 2\sqrt 4  + \frac{3}{2}.6 = 19\)      
Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: \(x + y \ge 6\) , Tìm GTNN của: \(P = 5x + 3y + \frac{{10}}{x} + \frac{8}{y}\)
HD :
Dấu bằng khi :\(x \ne y\)  , Bấm máy , Tìm điểm rơi là \(x = 2,y = 4\)   
Khi đó ta có : \(x = 2 =  > \frac{{10}}{x} = 5 = k.5.2 =  > k = \frac{1}{2},,\frac{8}{4} = 2 = 3.4.h =  > h = \frac{1}{6}\)
=>\(P = \left( {\frac{{10}}{x} + \frac{{5x}}{2}} \right) + \left( {\frac{8}{y} + \frac{{3y}}{6}} \right) + \frac{{5x}}{2} + \frac{{5y}}{2} \ge 2.5 + 2.2 + \frac{5}{2}.6 = 29\)
Bài 19: Cho \(x,y > 0\)  và  \(x + 2y \ge 2\) , Tìm GTNN của \(A = 2{x^2} + 16{y^2} + \frac{2}{x} + \frac{3}{y}\)  
HD :
          Dự đoán điểm rơi :\(x + 2y = 2 =  > x = 2 - 2y\) Thay vào A, bấm máy cho ta \(x = 1;y = \frac{1}{2}\)  
          Khi đó : \(A = 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 4\left( {4{y^2} + 1} \right) + \frac{2}{x} + \frac{3}{y} - 6 \ge 4x + 16y + \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \left( {4x + \frac{2}{x}} \right) + \left( {16y + \frac{3}{y}} \right)\)  
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :\(a + 2b + 3c \ge 20\),  
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{{2b}} + \frac{4}{c}\)
HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là : \(a = 2;b = 3;c = 4\)    
          Khi đó : \(P = \left( {\frac{3}{a} + \frac{{3a}}{4}} \right) + \left( {\frac{9}{{2b}} + \frac{b}{2}} \right) + \left( {\frac{4}{c} + \frac{c}{4}} \right) + \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{{3c}}{4}\)
   \(P \ge 3 + 3 + 2 + \frac{1}{4}\left( {a + 2b + 3c} \right) \ge 8 + \frac{1}{4}.20\)
Bài 21: Cho \(a,b > 0\)  thỏa mãn : \(a \ge 2b\) , Tìm GTNN của biểu thức \(A = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}}\)    
HD :
          Ta chia xuống, được : \(A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) , Đặt \(\frac{a}{b} = t,\left( {t \ge 2} \right)\), Khi đó \(A = t + \frac{1}{t}\)
          Dấu bằng xảy ra khi \(t = 2\) , Nên \(A = \left( {\frac{t}{4} + \frac{1}{t}} \right) + \frac{{3t}}{4} \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{3.2}}{4} = \frac{5}{2}\)       
Bài 22: Cho \(x,y > 0\)  thỏa mãn: \(xy + 4 \le 2y\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{xy}}\)   
HD:
          Từ \(2y \ge xy + 4 \ge 4\sqrt {xy}  =  > \sqrt y  \ge 2\sqrt x  =  > \frac{x}{y} \le \frac{1}{4}\)  
          Từ A chia xuống ta được: \(A = \frac{x}{y} + \frac{{2y}}{x}\) , Đặt \(\frac{x}{y} = t,\left( {t \le \frac{1}{4}} \right)\) 
          Khi đó \(A = t + \frac{2}{t}\) , Dấu = khi \(t = \frac{1}{4}\)  
Bài 23: Cho \(a,b > 0\)  thỏa mãn: \(a \ge 2b\) . Tìm GTNN của \(P = \frac{{2{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab}}\)  
HD:
          Ta chia xuống, được: \(P = \frac{{2.a}}{b} + \frac{b}{a} - 2\) , Đặt \(\frac{a}{b} = t,\left( {t \ge 2} \right)\) , Khi đó \(P = 2t + \frac{1}{t} - 2\) 
          Dấu bằng xảy ra khi \(t = 2 =  > P = \left( {\frac{1}{t} + \frac{t}{4}} \right) + \frac{{7t}}{4} - 2 \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{7.2}}{4} - 2 = \frac{5}{2}\)   
Bài 24: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{{a + b}} \ge 3\)
HD :
Ta có : \(\left\langle  =  \right\rangle \frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{2}{{a + b}} = a + b + \frac{2}{{a + b}} = \frac{{a + b}}{2} + \left( {\frac{{a + b}}{2} + \frac{2}{{a + b}}} \right) \ge \frac{{2\sqrt {ab} }}{2} + 2 = 1 + 2 = 3\)
Bài 25: CMR: với a, b, c > 0 thì : \(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\)
HD:
Ta có: \(\left( {\frac{{{a^2}}}{b} + b} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{c} + c} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{a} + a} \right) - \left( {a + b + c} \right) \ge 2a + 2b + 2c - \left( {a + b + c} \right) = a + b + c = VP\)
Bài 26: Cho a, b, c > 0, CMR: \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} \ge \frac{2}{b}}\\{\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{c}}\\{\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{a}}\end{array}} \right. =  > VT + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)=> ĐPCM
Bài 27:  Cho a, b, c > 0, CMR: \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}\)
HD :
Ta có : \(\left( {\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4}} \right) \ge a\), Tương tự ta có : \(\frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} \ge b\) và \(\frac{{{c^2}}}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} \ge c\)
Cộng theo vế ta được :
\(VT + \frac{{a + b + c}}{2} \ge a + b + c =  > VT \ge \frac{{a + b + c}}{2}\)
Bài 28: Cho \(a,b,c > 0\) , Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + 2b}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}\)   
HD:
          Dự đoán dấu = khi \(a = b = c\) , Khi đó: \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} = \frac{{{a^2}}}{{3a}} = \frac{a}{3} = k.\left( {b + 2c} \right) = k.3a =  > k = \frac{1}{9}\)   
          Ta biến đổi:  \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{b + 2c}}{9} \ge 2.\sqrt {\frac{{{a^2}}}{9}}  = \frac{{2a}}{3}\) , làm tương tự và cộng theo vế ta được:
          \(VT + \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{9} \ge \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3} =  > VT \ge \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3} - \frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{3} = \frac{{a + b + c}}{3}\)     
Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: \(P = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  \(x = y = z = \frac{2}{3}\),  Khi đó : \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} = \frac{1}{3} = \frac{{y + z}}{k} =  > k = 4\)
Nên : \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{y + z}}{4} \ge x\), Tương tự ta có :  \(P + \frac{{x + y + z}}{2} \ge x + y + z =  > P \ge \frac{{x + y + z}}{2} = 1\)
Bài 30: Cho x,y > 1, CMR :\(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x - 1}} \ge 8\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi \(x = y\), Thay vào ta được :  \(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = 8 =  > x = y = 2\)
Khi đó : \(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + 4\left( {y - 1} \right) \ge 4x\) và \(\frac{{{y^2}}}{{x - 1}} + 4\left( {x - 1} \right) \ge 4y\)
\(VT \ge 4\left( {x + y} \right) - 4\left( {y - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 8\)
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR : \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\)
HD:
Ta có: \(\left( {\frac{{{a^3}}}{b} + {b^2}} \right) + \left( {\frac{{{b^3}}}{c} + {c^2}} \right) + \left( {\frac{{{c^3}}}{a} + {a^2}} \right) - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Mà: \(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{b} \ge \frac{{ab\left( {a + b} \right)}}{b} = a\left( {a + b} \right) = {a^2} + ab\)
Tương tự => \(\frac{{{b^3}}}{c} + {c^2} \ge {b^2} + bc,\frac{{{c^3}}}{a} + {a^2} \ge {c^2} + ca\)
Khi đó VT \( \ge \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = ab + bc + ca\)
Bài 32: Cho \(a,b,c > 0\) , Chứng minh rằng : \(P = \frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)   
HD:
          Dấu bằng khi \(a = b = c\), và để sau khi Cô si vẫn còn \({a^2}\)  thì ta làm như sau:
          Xét \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{a\left( {b + 2c} \right)}}{9} \ge \frac{{2.{a^2}}}{3}\) , Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
          \(P + \frac{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left\langle  =  \right\rangle P \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \frac{{ab + bc + ca}}{3}\)        
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca =  >  - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge  - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) =  > P \ge \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{3} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)           \(P \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)    
Bài 33: Cho \(x,y > 0,xy \ge 6,y \ge 3\) , Tìm GTNN của \(P = x + y + 2019\)  
HD :
          Dự đoán điểm rơi tại \(y = 3,x = 2\) , Khi đó \(y = x + 1\) ,
          Cô si cho hai số \(x + 1;y > 0\) , ta được :
\(P = \left( {x + 1} \right) + y + 2018 \ge 2\sqrt {y\left( {x + 1} \right)}  + 2018 = 2.\sqrt {xy + y}  + 2018 \ge 2\sqrt {6 + 3}  + 2018 = 2024\)  
Bài 34:  Cho \(x,y \ge 0,x + y = 1\) , Tìm GTLN và GTNN của \(A = {x^2} + {y^2}\)   
HD:
          Ta có: \(0 \le x,y \le 1 =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \le x}\\{{y^2} \le y}\end{array}} \right. =  > A \le x + y = 1\)   
          Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi \(x = y = \frac{1}{2}\) , 
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + \frac{1}{4} \ge x}\\{{y^2} + \frac{1}{4} \ge y}\end{array}} \right. =  > A + \frac{1}{2} \ge x + y = 1 =  > A \ge \frac{1}{2}\)  




 
Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số

Bài 1: Cho a\( \ge \)2, Tìm Min của: \(S = a + \frac{1}{{{a^2}}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  a = 2 => \(\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{4} = h.2 =  > h = \frac{1}{8}\), Khi đó ta có :
        \(S = \left( {\frac{a}{8} + \frac{a}{8} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \frac{{3a}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{64}}}} + \frac{{3.2}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}\)
Bài 2: Cho \(a \ge 2\) , Tìm GTNN của : \(P = x + \frac{3}{{{x^3}}}\)   
HD :
          Dự đoán dấu = khi \(x = 2\) , Khi đó :\(\frac{3}{{{x^2}}} = \frac{3}{4} = k.x = 2k =  > k = \frac{3}{8}\)     
          Khi đó : \(P = \frac{3}{{{x^2}}} + \left( {\frac{{3x}}{8} + \frac{{3x}}{8} + \frac{x}{4}} \right) = \left( {\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{{3x}}{8} + \frac{{3x}}{8}} \right) + \frac{x}{4} \ge 3.3.\sqrt[3]{{\frac{1}{{64}}}} + \frac{2}{4} = \frac{9}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{11}}{4}\)    
Bài 3: Cho \(0 < a \le \frac{1}{2}\), Tìm Min của: \(S = 2a + \frac{1}{{{a^2}}}\)
HD ;
Dự đoán dấu bằng khi \(a = \frac{1}{2} =  > \frac{1}{{{a^2}}} = 4 = k.2.\frac{1}{2} =  > k = 4\), Khi đó ta có :
\(S = \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + 8a + 8a} \right) - 14a \ge 3\sqrt[3]{{64}} - 14a\), mà \(a \le \frac{1}{2} =  >  - 14a \ge  - 7 =  > S \ge 3.4 - 7 = 5\)
Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: \(a + b \le 1\), Tìm min của \(A = a + b + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  \(a = b = \frac{1}{2} =  > A = \left( {8a + 8a + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \left( {8b + 9b + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) - 15\left( {a + b} \right)\)
                                              \( =  > S \ge 3.4 + 3.4 - 15.1 = 9\)
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le \frac{3}{2}\), Tìm Min \(P = a + b + c + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)
HD :
          Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{2}\)
          Khi đoa : \(P = \left( {8a + 8a + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \left( {8b + 8b + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + \left( {8c + 8c + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) - 15\left( {a + b + c} \right)\)
          \(P \ge 3.4 + 3.4 + 3.4 - 15.\frac{3}{2} = 36 - \frac{{45}}{2} = \frac{{27}}{2}\)
Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le \frac{3}{2}\),  Tìm Min:\(A = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
Dấu bằng khi : \(a = b = c = \frac{1}{2}\)
        \( =  > P = \left( {{a^2} + \frac{1}{{8a}} + \frac{1}{{8a}}} \right) + \left( {{b^2} + \frac{1}{{8b}} + \frac{1}{{8b}}} \right) + \left( {{c^2} + \frac{1}{{8c}} + \frac{1}{{8c}}} \right) + \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
                         \(P \ge \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\left( {\frac{9}{{a + b + c}}} \right) = \frac{{27}}{4}\)
Bài 7: Cho \(x \ge 2\) , Tìm GTNN của : \(P = 2x + \frac{3}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}\)   
HD :
          Dự đoán dấu = khi \(x = 2\), Khi đó : \(\frac{4}{{{x^2}}} = 1 = k.x = k.2 =  > k = \frac{1}{2}\) , Vậy ta tách :
          \(P = \left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + x} \right) + \frac{3}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = \left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) + \left( {x + \frac{3}{x}} \right)\) , lại nhẩm tiếp : \(\frac{3}{x} = \frac{3}{2} = k.x = k.2 =  > k = \frac{3}{4}\)  
          Nên \(P = \left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) + \left( {\frac{3}{x} + \frac{{3x}}{4}} \right) + \frac{x}{4} \ge 3 + 2\sqrt {\frac{9}{4}}  + \frac{2}{4} = 3 + 3 + \frac{1}{2} = \frac{{13}}{2}\)        
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c = 1\), 
Tìm Min của: \(A = \frac{{{a^3}}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{\left( {1 - {c^2}} \right)}}\)
HD :
Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\) Khi đó :
\(\frac{{{a^3}}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} + \frac{{1 - a}}{8} + \frac{{1 - a}}{8} \ge \frac{3}{4}a\), Tương tự ta cũng có : \(\frac{{{b^3}}}{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}} + \frac{{1 - b}}{8} + \frac{{1 - b}}{8} \ge \frac{3}{4}b\)
\(\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}} + \frac{{1 - c}}{8} + \frac{{1 - c}}{8} \ge \frac{3}{4}c\)   
Bài 9: Cho \(a,b,c > 0\) , thỏa mãn : \(ab + bc + ca = 3\) ,
Tìm GTNN của \(P = \frac{{{a^3}}}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{{{b^3}}}{{\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}} + \frac{{{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}\)     
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi \(a = b = c = 1\) 
          Xét \(\frac{{{a^3}}}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{{1 + b}}{8} + \frac{{1 + c}}{8} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}}}{{64}}}} = \frac{{3a}}{4}\)  , Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
          \(P + \frac{{\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right)}}{4} \ge \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{4} =  > P \ge \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{4} - \frac{{a + b + c}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{{a + b + c}}{2} - \frac{3}{4}\)   
          Mà \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 9 =  > a + b + c \ge 3\) , Thay vào P ta được : \(P \ge \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)      
Bài 10: Cho \(x,y,z > 0\)  thỏa mãn : \(xy + yz + zx \ge 3\) , Tìm GTNN của : \(P = \frac{{{x^3}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^3}}}{{z + 1}} + \frac{{{z^3}}}{{x + 1}}\)   
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi \(x = y = z = 1\)   
          Xét \(\frac{{{x^3}}}{{y + 1}} + \frac{{y + 1}}{4} + \frac{1}{2} \ge \frac{{3.x}}{2}\)   , Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
          \(P + \frac{{x + y + z}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \ge \frac{{3\left( {x + y + z} \right)}}{2} =  > P \ge \frac{{5\left( {x + y + z} \right)}}{4} - \frac{9}{4}\)     
          Mà \({\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 3.3 = 9 =  > x + y + z \ge 3\) ,
Thay vào P ta được : \(P \ge \frac{{5.3}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{2}\)    
Bài 11: Cho \(x,y,z > 0\)  thỏa mãn: \(x + y + z = 11\) , Tìm GTNN của \(P = {x^3} + 4{y^3} + 9{z^3}\)  
HD:
          Các thầy cô có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau:
          Dự đoán \(x = a,y = b,z = c =  > a + b + c = 11\) và \(P \ge k\left( {x + y + z} \right)\)  
          Áp dụng cô si cho 3 số \({x^3},{a^3},{a^3}\)  ta được: \({x^3} + {a^3} + {a^3} \ge 3x{a^2}\)         (1)
          Tương tự ta cũng có : \({y^3} + {b^3} + {b^3} \ge 3y{b^2}\)                                           (2)
Và \({z^3} + {c^3} + {c^3} \ge 3z{c^2}\)                                                                 (3)
Để có được biểu thức P ta cộng \(\left( 1 \right) + 4.\left( 2 \right) + 9\left( 3 \right)\)  ta được :
\(\left( {{x^3} + 2{a^3}} \right) + 4\left( {{y^3} + 2{b^3}} \right) + 9\left( {{z^3} + 2{c^3}} \right) \ge 3\left( {{a^2}x + {b^2}y + {c^2}z} \right)\)   
\( =  > P + 2\left( {{a^3} + 4{b^3} + 9{c^3}} \right) \ge 3\left( {{a^2}x + 4{b^2}y + 9{c^2}z} \right)\) , đồng nhất với \(k\left( {x + y + z} \right)\)  ta được :
\({a^2} = 4{b^2} = 9{c^2} =  > a = 2b = 3c\) , mà \(a + b + c = 11 =  > a = 6 = x,b = 3 = y,c = 2 = z\)     
Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau :
          \({x^3} + {6^3} + {6^3} \ge 3.36x\) (4) , \({y^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3.9y\)  (5)  và \({z^3} + {2^3} + {2^3} \ge 3.4z\)  (6)
Cộng \(\left( 4 \right) + 4.\left( 5 \right) + 9.\left( 6 \right) = \left( {{x^3} + 4{y^3} + 9{z^3}} \right) + {2.6^3} + {8.3^3} + {18.2^3} \ge 108\left( {x + y + z} \right) = 11.108\)      \(P \ge 396\)    









 
Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU

Bài 1: Cho \(a,b > 0;a + b = 4ab\) . Tìm GTNN của  \(A = \frac{a}{{4{b^2} + 1}} + \frac{b}{{4{a^2} + 1}}\)  
HD:
            Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{2}\)  
            Nếu co si mẫu thì ta được: \(4{b^2} + 1 \ge 4b =  > \frac{1}{{4{b^2} + 1}} \le \frac{1}{{4b}}\) , Như vậy ta không thể tìm được GTNN
            Khi đó ta biến đổi:
\(A = \left( {a - \frac{{4a{b^2}}}{{4{b^2} + 1}}} \right) + \left( {b - \frac{{4{a^2}b}}{{4{a^2} + 1}}} \right) \ge \left( {a - \frac{{4a{b^2}}}{{4b}}} \right) + \left( {b - \frac{{4{a^2}b}}{{4a}}} \right) = \left( {a + b} \right) - 2ab = 4ab - 2ab = 2ab\)   
            Mà \(a + b = 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2} =  > {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \ge 0 =  > a + b \ge 1\)  Vì \(a,b > 0 =  > a + b > 0\) 
            Khi đó : \(4ab = a + b \ge 1 =  > 2ab \ge \frac{1}{2} =  > A \ge \frac{1}{2}\)   
Bài 2 : Cho \(x,y,{\rm{z}} > 0\)  và \(x + y + z = 3\) , Tìm GTNN của : \(P = \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{y^2} + 1}} + \frac{1}{{{z^2} + 1}}\)   
HD :
            Dự đoán dấu bằng khi \(x = y = z = 1\)
            Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được : \({x^2} + 1 \ge 2x =  > \frac{1}{{{x^2} + 1}} \le \frac{1}{{2x}}\) thì ta đều không tìm ra được GTNN.
            Cách 1: Ta có thể áp dụng BĐT \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} =  > \)  \(P \ge \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 3}}\)  
            Mà \({\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3.\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) =  > {x^2} + {y^2} + {z^2} \le \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3} = \frac{9}{3} = 3\) , Thay vào P ta được :
            \(P \ge \frac{9}{{3 + 3}} = \frac{3}{2}\)  
Cách 2: Hoặc ta biến đổi : \(\frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}\) , Rồi mới Cô si dưới mẫu :
Khi đó ta có : \({x^2} + 1 \ge 2x =  > \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \le \frac{{{x^2}}}{{2x}} =  > 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 1 - \frac{x}{2}\)   , làm tương tự và cộng theo vế :
\(P \ge 3 - \left( {\frac{{x + y + z}}{2}} \right) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\) 
Bài 3 : Cho \(x,y,z > 0\)  và \(x + y + z = 3\) , Tìm GTNN của   \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 2{y^3}}} + \frac{{{y^2}}}{{y + 2{z^3}}} + \frac{{{z^2}}}{{z + 2{x^3}}}\)   
HD :
            Dự đoán dấu = khi \(x = y = z = 1\)  
            Xét \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2{y^3}}} = \frac{{x.x}}{{x + 2{y^3}}} = \frac{{x\left( {x + 2{y^3}} \right) - 2x{y^3}}}{{x + 2{y^3}}} = x - \frac{{2x{y^3}}}{{x + 2{y^3}}}\) , Vì dấu = khi \(x = y = z\)     
Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số : \(x + {y^3} + {y^3} \ge 3.\sqrt[3]{{x{y^6}}} = 3.{y^2}\sqrt[3]{x} =  > x - \frac{{2x{y^3}}}{{x + 2{y^3}}} \ge x - \frac{{2y.\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3}\)      
Làm tương tự và cộng theo vế ta được : \(P \ge \left( {x + y + z} \right) - \frac{2}{3}\left( {y\sqrt[3]{{{x^2}}} + z\sqrt[3]{{{y^2}}} + x\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)\)  
Mà \(3y\sqrt[3]{{{x^2}}} = 3.\sqrt[3]{{{x^2}{y^3}}} \le xy + xy + y =  > y\sqrt[3]{{{x^2}}} \le \frac{{2xy + y}}{3}\) , Làm tương tự và công theo vế ta có :
\(P \ge 3 - \frac{3}{2}\left[ {\frac{{2\left( {xy + yz + zx} \right)}}{3} + \frac{{x + y + z}}{3}} \right]\) ,
Và  \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx =  > {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right) =  > xy + yz + zx \le 3\)   
Thay vào P ta được : \(P \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\)        
 


 
Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN

Bài 1: Cho \(x,y,z > 0\)  và \(x + y + z \le 3\) , Tìm GTNN của: \(P = {x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{{20}}{{x + y + z}}\)   
HD:
          Ta sẽ dồn \({x^2} + {y^2} + {z^2}\)  về \(x + y + z\)  hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi người.
          Dự đoán dấu = khi \(x = y = z = 1\)  
          Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:
          \(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\)   rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi
          Cách 2: Ta có \({x^2} + 1 \ge 2x\) , \({y^2} + 1 \ge 2y\)  và \({z^2} + 1 \ge 2z\) , Cộng theo vế ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2\left( {x + y + z} \right) =  > P \ge 2\left( {x + y + z} \right) - 3 + \frac{{20}}{{x + y + z}}\)  , đặt \(x + y + z = t,\left( {0 < t \le 3} \right)\)
Dấu = khi \(t = 3 =  > P = 2t + \frac{{20}}{t} - 3 = 2t + \frac{{18}}{t} + \frac{2}{t} - 3 \ge 2.\sqrt {36}  + \frac{2}{3} - 3 = \frac{{29}}{3}\)    
Bài 2: Cho \(a,b,c \ge 1\) , Tìm GTLN của: \(P = \left( {\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}}} \right) + \sqrt {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \)   
HD:
          Ta sẽ dồn về biến \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)  , Dự đoán dấu = khi \(a = b = c = 1\)   
          Ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab =  > \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} \le \frac{a}{{2ab}} = \frac{1}{{2b}}\) , Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
          \(P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \sqrt {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \)    , Đặt \(t = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) , Dự đoán điểm rơi \(0 < t \le 3\)  
          Và \(P \le \frac{t}{2} + \sqrt t  \le \frac{3}{2} + \sqrt 3 \)        
Bài 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: \(\frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}}}{c} + \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}} \ge \frac{9}{2}\)
HD :
Ta có : \(\frac{{{a^2}}}{c} + c \ge 2a\), \(\frac{{{b^2}}}{a} + a \ge 2b,\frac{{{c^2}}}{b} + b \ge 2c\)
Ki đó \(VT \ge a + b + c + \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2} + \left( {\frac{{a + b + c}}{2} + \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}} \right) \ge \frac{9}{2}\)
          \(VT \ge \frac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{2} + \frac{{2.3}}{2} = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}\)

 
Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG

Bài 1: Tìm min của biểu thức: \(A = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{1}{x}\left( {0 < x < 1} \right)\)
HD:
Tách \(A = \frac{{2 - 2x + 2x}}{{1 - x}} + \frac{{1 - x + x}}{x} = 3 + \frac{{2x}}{{1 - x}} + \frac{{1 - x}}{x} \ge 3 + 2\sqrt {\frac{{2x}}{{1 - x}}.\frac{{1 - x}}{x}}  = 3 + 2\sqrt 2 \)
          Dấu ‘’ = ’’ khi \(\frac{{2x}}{{1 - x}} = \frac{{1 - x}}{x} =  > x = \sqrt 2  - 1\)
Bài 2: Tìm min của: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{5}{x}\) với 0 < x < 1
HD:
Ta có: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{5 - 5x + 5x}}{x} = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{5\left( {1 - x} \right)}}{x} + 5 \ge 2\sqrt 5  + 5\), dấu bằng khi \(\frac{x}{{1 - x}} = \frac{{5\left( {1 - x} \right)}}{x}\)
Bài 3: Tìm min của: \(C = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) (x > 1)
HD:
\(C = \frac{{x - 1 + 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2}\), Dấu bằng khi \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}}\)
Bài 4: Cho 0 < x < 1, Tìm min của: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{4}{x}\)
HD:
Ta có: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4 - 4x + 4x}}{x} = 4 + \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 4 + 4\), dấu bằng khi \(\frac{x}{{1 - x}} = \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\)

Bài 5: Tìm min của biểu thức: \(B = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) với \(x \ge 0\)
HD:
Tách \(A = \frac{{{x^2} - 4 + 5}}{{x + 2}} = x - 2 + \frac{5}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{5}{{x + 2}} - 4 \ge 2\sqrt 5  - 4\)
          Dấu ‘’=’’ khi \(x + 2 = \frac{5}{{x + 2}} =  > x + 2 =  \pm \sqrt 5 \)
Bài 6: Tìm min của: \(C = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) với x >1
HD:
Ta có: \(C = \frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2 \ge 2 + 2\), Dấu bằng khi \(x - 1 = \frac{1}{{x - 1}} =  > x = 2\)
Bài 7: Tìm min của: \(A = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)với x > 0
HD:
Tách \(A = \frac{{{x^2} + x + 1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} = 1 - \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1 + \frac{1}{x}}}\), mà \(x + \frac{1}{x} \ge 2 =  > \frac{2}{{x + \frac{1}{x} + 1}} \le \frac{2}{3}\)
Bài 8: Tìm min của: \(B = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{x}\) với \(x > 0\)
HD:
Ta có: \(B = x + 4 + \frac{4}{x} \ge 4 + 4 = 8\), dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{4}{x} =  > x = 2\)
Bài 9: Tìm min của: \(B = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\) với x > 0
HD:
Tách \(B = x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \ge 2 + 2\), dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{x} =  > x = 1\)
Bài 10: Tìm min của: \(A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2}\) với \(x \ne  - 1\)
HD:
Tách \(A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left[ {\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt 2  + 2\)
          Dấu bằng khi \(2{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} =  > {\left( {x + 1} \right)^4} = \frac{1}{2} =  > x + 1 =  \pm \sqrt[4]{{\frac{1}{2}}}\)
Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của: \(P = {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} - \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) - 2\)
HD:
Đặt \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t =  > P = {t^2} - t - 2 = {\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4}\), mà \(t \ge 2 =  > P \ge {\left( {2 - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4} = 0\)
Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của: \(A = \frac{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}{x}\) với x > 0
HD:
Ta có: \(B = \frac{{{x^2} + ax + bx + ab}}{x} = a + b + \left( {x + \frac{{ab}}{x}} \right) \ge a + b + 2\sqrt {ab}  = {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}\)
Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1\),
Tìm x, y để \(S = x + y\) đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
Ta có \(S = \left( {x + y} \right)\left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{y}} \right) = a + b + \frac{{bx}}{y} + \frac{{ay}}{x} \ge a + b + 2\sqrt {ab} \), min \(S = {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}\)
          Dấu bằng khi \(\frac{{ay}}{x} = \frac{{bx}}{y}\) mà \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1 =  > x = a + \sqrt {ab} ,y = b + \sqrt {ab} \)
Bài 14: Cho x, y > 0, 4xy = 1 và x + y = 1, Tìm min của: \(A = \frac{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 12xy}}{{x + y}}\)
HD:
Ta có :\(A = \frac{{2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + 12xy}}{{x + y}} = \frac{{2{{\left( {x + y} \right)}^2} + 8xy}}{{x + y}} = 2\left[ {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right]\),
Co si\(x + y + \frac{1}{{x + y}} \ge 2\)   => \(A \ge 4\) dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{4xy = 1}\end{array}} \right. =  > x = y = \frac{1}{2}\)
BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ
 

1. LÝ THUYẾT

1. Tên gọi:
         
Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả của bất đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ.
2. Tổng quát:
          Ở chương trình THCS. Tài Liệu Toán chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho 2
hoặc 3 số.

• Với các số \({b_1},{b_2},...{b_n} > 0\) , ta có: \(\frac{{a_1^2}}{{{b_1}}} + \frac{{a_2^2}}{{{b_2}}} + ... + \frac{{a_n^2}}{{{b_n}}} \ge \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2}}}{{\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)}}\)  

Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)  

• Với hai số \(a,b > 0\)  ta có : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{\left( {a + b} \right)}}\) , Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} =  > a = b\)   
• Với ba số \(a,b,c > 0\)  thì ta có : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\) , Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(a = b = c\)           

 

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG

Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
HD :
Ta có: gt \(\left\langle  =  \right\rangle \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\left\langle  =  \right\rangle {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\left\langle  =  \right\rangle {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có : \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{4}{{2b}} = \frac{2}{b}\)
Tương tự ta cũng có : \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{c + a - b}} + \frac{1}{{a + b - c}} \ge \frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 3: Cho \(x > 0,y > 0,x + y \le 1\), CMR: \(\frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}} \ge 4\)
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
\(\frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\), Vì \(x + y \le 1 =  > {\left( {x + y} \right)^2} \le 1 =  > \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 1\)

 
Dạng 2 : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ

Bài 1: Cho \(a + b \le 1\) và \(a,b > 0\) , Tìm min của: \(P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{ab}}\)
HD :
Dấu bằng khi \(a = b = \frac{1}{2}\)
Khi đó : \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{2ab}}\)
\(P \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{2}{{4ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 6\)
Bài 2: Cho \(a,b > 0;a + b \le 1\) , Tìm GTNN của biểu thức : \(A = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}\)    
HD:
          Dự đoán dấu = khi \(a = b = \frac{1}{2}\) , Để ý hai biểu thức dưới mẫu, có thể nhóm chúng được lại với nhau
          Nên ta sử dụng BĐT phụ: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)  
          Khi đó: \(A = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 4\)  
Bài 3: Cho \(a,b > 0,a + b = 1\) , Tìm GTNN của: \(A = \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{2}{{ab}}\)   
HD:
          Dấu bằng khi \(a = b = \frac{1}{2}\) ,  Biến đổi A thành:
\(A = \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{4}{{2ab}} = \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{3}{{2ab}} + \frac{1}{{2ab}} = 3\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge 3.\frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = 14\)  
Bài 4: Cho a,b>0 và \(a + b \le 1\), Tìm GTNN của: \(P = \frac{1}{{1 + {a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}\)
HD :
Dấu bằng khi : \(a = b = \frac{1}{2}\). Khi đó : \(\frac{1}{{1 + {a^2} + {b^2}}} = \frac{1}{{3.2ab}}\)
\( =  > P = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{6ab}}} \right) + \frac{1}{{3ab}} \ge \frac{4}{{\left( {{a^2} + {b^2} + 6ab + 1} \right)}} + \frac{1}{{3ab}}\) =>\(P \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 4ab + 1}} + \frac{1}{{3ab}}\)
Mặt khác : \(a + b \ge 2\sqrt {ab}  =  > ab \le \frac{1}{4} =  > P \ge \frac{4}{{2 + 1}} + \frac{1}{{3.\frac{1}{4}}} = \frac{8}{3}\)
Dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + {a^2} + {b^2} = 6ab}\\{a = b}\\{a + b = 1}\end{array}} \right. =  > a = b = \frac{1}{2}\)
Bài 5: Cho \(x,y > 0,x + y \le 4\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{35}}{{xy}} + 2xy\)   
HD :
          Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = 2\)  
          Biến đổi \(A = \frac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{2xy}} + \frac{{34}}{{xy}} + 2xy = 2\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {2xy + \frac{{32}}{{xy}}} \right) + \frac{2}{{xy}}\)   
          \(A \ge \frac{{2.4}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 16 + \frac{8}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 17\)    
Bài 6: Cho a,b>0, \(a + b \le 1\), Tìm Min của: \(P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + 4ab\)
HD :
Dấu bằng khi \(a = b = \frac{1}{2}\)
Khi đó : \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2ab}} + 4ab} \right) \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \left( {4ab + \frac{1}{{4ab}}} \right) + \frac{1}{{4ab}}\)
\(P \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2.\sqrt {\frac{{4ab}}{{4ab}}}  + \frac{1}{{4.\frac{1}{4}}} \ge 7\). Dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 2ab}\\{{a^2}{b^2} = \frac{1}{{16}}}\\{a + b = 1}\end{array}} \right. =  > a = b = \frac{1}{2}\)
Bài 7: Cho \(a,b > 0,a + b \le 4\) , Tìm GTNN của biểu thức: \(P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\)   
HD:
          Dấu = khi \(a = b = 2\) , và mẫu có thể ghép được lại với nhau. Nên ta biến đổi P thành:
          \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \frac{{49}}{{2ab}} + ab \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \left( {ab + \frac{{16}}{{ab}}} \right) + \frac{{17}}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 8 + \frac{{34}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)   
          \(P \ge \frac{{38}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 8 \ge \frac{{38}}{{16}} + 8 = \frac{{83}}{8}\) , Vì \(a + b \le 4 =  > {\left( {a + b} \right)^2} \le 16\)   
Bài 8: Cho \(x \ge 2,x + y \ge 3\), y > 0 , Tìm Min của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + y}}\)
HD :
          Ta có : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{4}{{x + y}} =  > \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} =  > P \ge {x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}}\)
          \(P \ge \left( {{x^2} + \frac{5}{{4x}}} \right) + \left( {{y^2} + \frac{1}{{4y}}} \right)\) , Điểm rơi cosi : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y = 3}\end{array}} \right.\)
Bài 9: Cho \(x,y > 0;x + y = 3\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{5}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{3}{{xy}}\)  
HD:
          Dấu bằng khi \(x = y = \frac{3}{2}\) , để ý thì dưới mẫu có thể kết hợp lại được với nhau, ta biến đổi:
          \(A = \frac{5}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{6}{{2xy}} = \frac{5}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{5}{{2xy}} + \frac{1}{{2xy}} = 5\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \frac{1}{{2xy}} \ge 5.\frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{2xy}}\)  
          Mà \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy =  > \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \le \frac{1}{{4xy}} =  > \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) , Thay vào A ta được:
          \(A \ge \frac{{20}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{22}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{22}}{9}\)   
Bài 10: Cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4,\)CMR: \(\frac{1}{{2a + b + c}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + b + 2c}} \le 1\)
HD :
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
Dấu ’’=’’ xảy ra khi \(a = b = c = \frac{3}{4} =  > 2a = b + c\)
Khi đó ta có :
                   \(\frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{2a + b + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
tương tự ta có :
                   \(\frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{a + 2b + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{2b}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right)} \right] = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right)\)
\(\frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{a + b + 2c}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\), Khi đó \(VT \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}} \right) = 1\)