TOÁN THCS BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)

Chủ nhật - 12/12/2021 06:51
A: LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:

Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
         
Ở cấp THCS, Tài liệu Toán  xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
  • Với \(a,b \ge 0\) thì \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)   , Dấu “ = “  khi và chỉ khi  \(a = b\) 
  • Với \(a,b,c \ge 0\)  thì \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)  , Dấu “ = “ khi và chỉ khi \(a = b = c\)   

B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC

Bài 1: Cho \(x,y,z \ge 0\), CMR : \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\)
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số \(x,y \ge 0\), ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) ,
Làm tương tự ta sẽ có :  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z \ge 2\sqrt {yz} }\\{z + x \ge 2\sqrt {zx} }\end{array}} \right.\), Nhân theo vế ta được: \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{y = z}\\{z = x}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle x = y = z\)    
Bài 2: Cho\(a,b,c > 0\)  và \(abc = 1\) , CMR: \(\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) \ge 8\)
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm \(a,1\) , ta có : \(a + 1 \ge 2\sqrt a \) 
Tương tự ta sẽ có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b + 1 \ge 2\sqrt b }\\{c + 1 \ge 2\sqrt c }\end{array}} \right. =  > \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) \ge 8\sqrt {abc}  = 8\)     
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:  \(a = b = c = 1\)  
Bài 3: Cho \(a,b\)  không âm. CMR: \(\left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) \ge 4ab\)
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm \(a,b\) , ta có : \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)  
Tương tự : \(ab + 1 \ge 2\sqrt {ab} \)  , nhân theo vế ta được : \(\left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) \ge 4ab\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{ab = 1}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = b = 1\)   
 

Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3\)
HD:
Ta có: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}} = 3\), Dấu bằng khi \(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x} =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = yz}\\{{y^2} = xz}\\{{z^2} = xy}\end{array}} \right. =  > x = y = z\)
Bài 5: CMR: \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} \ge 4abcd\), Với mọi \(a,b,c,d\)      
HD :
\({a^4},{b^4},{c^4},{d^4}\) là 4 số dương => \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} \ge 4\sqrt[4]{{{{\left( {abcd} \right)}^4}}} = 4abcd\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi \(a = b = c = d\)     
Bài 6: Cho \(a,b,c,d > 0;abcd = 1\) . CMR  :\({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ab + cd \ge 6\)
HD :
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} \ge 2ab}\\{{c^2} + {d^2} \ge 2cd}\end{array}} \right. =  > {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ab + cd \ge 3\left( {ab + cd} \right) \ge 3.2\sqrt {abcd}  = 6\)       
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Bài 7: CMR: \(\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c}\)
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số không âm  \(\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}};\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\) , ta có : \(\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \ge 2.\frac{a}{c}\),
Tương tự : \(\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge 2.\frac{b}{a}\), và \(\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \ge 2.\frac{c}{b}\)
Cộng theo vế ta được :  \(2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) \ge 2\left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \right) =  > VT \ge VP\)   
Dấu “ = “ xảy ra khi: \(a = b = c\)    
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: \(\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\)
HD :
Ta có : \(\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = c\left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) \ge 2c\),
Tương tự ta có : \(\frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} = a\left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right) \ge 2a\) và  \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} = b\left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) \ge 2b\)
Cộng theo vế ta được : \(2VT \ge 2VP\)
Bài 9: Cho \(a,b,c > 0\). CMR : \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số \({a^2},{b^2} > 0\)  , ta có : \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\)   
Làm tương tự ta sẽ có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{b^2} + {c^2} \ge 2bc}\\{{c^2} + {a^2} \ge 2ca}\end{array}} \right. =  > VT \le \frac{a}{{2ab}} + \frac{b}{{2bc}} + \frac{c}{{2ca}} = \frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)    Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{b = c}\\{c = a}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = b = c\)   
Bài 10: CMR: Với mọi \(a,b,c > 0\) , thì \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)
HD:
Áp dụng Cô si cho ba số \(a,b,c > 0\) , ta có : \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}\)
Nhân theo vế ta có: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)
          Dấu “ = “ khi và chỉ khi : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = c}\\{\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = b = c\)      
Bài 11: Cho \(a,b,c \ge 0\)\(a + b + c \le 3\),
CMR :  \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} + \frac{c}{{1 + {c^2}}} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}\)
HD:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + {a^2} \ge 2a}\\{1 + {b^2} \ge 2b}\\{1 + {c^2} \ge 2c}\end{array}} \right. =  > \frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} + \frac{c}{{1 + {c^2}}} \le \frac{a}{{2a}} + \frac{b}{{2b}} + \frac{c}{{2a}} = \frac{3}{2}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + a = x}\\{1 + b = y}\\{1 + c = z}\end{array}} \right. =  > x + y + z = a + b + c + 3 \le 6\) => \(B = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{3}{2}\),
Khi đó: \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9 =  > \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}} \ge \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\)
HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :\(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a + b}\\{y = b + c}\\{z = c + a}\end{array}} \right. =  > 2\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) \ge 9\)
\(\left\langle  =  \right\rangle \frac{{a + b + c}}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} \ge \frac{9}{2}\) \(\left\langle  =  \right\rangle \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\)
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: \(\frac{a}{{b + 1}} + \frac{b}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\)
HD :
\(VT = \left( {\frac{a}{{b + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{b}{{a + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{a + b}} + 1} \right) - 3 = \left( {a + b + 1} \right)\left( {\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) - 3\)
  \( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) - 3 \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\)
 

Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{c + a - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\)
HD :
Ta có : \(VT \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{abc}}{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}}}}\)
Lại có : \(\left( {b + c - a} \right) + \left( {c + a - b} \right) \ge 2\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)} \)
\( =  > 2c \ge 2\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)} \), Tương tự ta có :
\(a \ge \sqrt {\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)\(b \ge \sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)
=> \(abc \ge \left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)\) => \(\frac{{abc}}{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}} \ge 1 =  > VT \ge 3\sqrt[3]{1} = 3\)
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: \(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2abc}}\)
HD :
Co si cho hai số : \({a^2},bc\), Ta được: \({a^2} + bc \ge 2a\sqrt {bc}  =  > \frac{1}{{{a^2} + bc}} \le \frac{1}{{2a\sqrt {bc} }} =  > \frac{2}{{{a^2} + bc}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}}} \right)\)
Tương tự ta có :
\(\frac{2}{{{b^2} + ac}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}}} \right)\) và \(\frac{2}{{{c^2} + ab}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ca}} + \frac{1}{{cb}}} \right)\)
Cộng theo vế ta được : \(2VT \le \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = \frac{{a + b + c}}{{abc}} =  > VT \le \frac{{a + b + c}}{{2abc}}\)
 
 

Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM

1. Nhận dạng xử lý:
- Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
- Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau.
2. Phương pháp :
            - Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra
dấu bằng.
- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý.

Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số

Bài 1: Cho \(a \ge 2,CMR:a + \frac{1}{a} \ge \frac{5}{2}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :  a = 2 => \(\frac{1}{a} = \frac{1}{2} = k.a = k.2 =  > k = \frac{1}{4}\)
Khi đó ta có :  \(a + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{a}{4} + \frac{{3a}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{4a}}}  + \frac{{3a}}{4} = 1 + \frac{{3a}}{4} \ge 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)
Dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{a} = \frac{a}{4}}\\{a = 2}\end{array}} \right.\left\langle  =  \right\rangle a = 2\)     
Bài 2: Cho \(a \ge 3\), Tìm GTNN của: \(S = a + \frac{1}{a}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : \(a = 3 =  > \frac{1}{a} = \frac{1}{3} = k.3 =  > k = \frac{1}{9}\)       
Khi đó ta có : \(S = \left( {\frac{1}{a} + \frac{a}{9}} \right) + \frac{{8a}}{9} \ge \frac{2}{{\sqrt 9 }} + \frac{{8.3}}{9} = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{10}}{3}\)       
Vậy Min \(S = \frac{{10}}{3}\)
Bài 3: Cho \(x \ge 1\), Tìm GTNN của: \(A = 3x + \frac{1}{{2x}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi \(x = 1 =  > \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{2} = k.3 =  > k = \frac{1}{6}\)
Khi đó : \(A = \left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{{3x}}{6}} \right) + \frac{{5x}}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{5.1}}{2} = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\)
Bài 4: Cho a, b > 0, \(a + b \le 1,CMR:a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 5\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 1}\\{a = b}\end{array}} \right. =  > a = b = \frac{1}{2} =  > \frac{1}{a} = 2 = k.\frac{1}{2} =  > k = 4\)
Khi đó : \(VT = \left( {\frac{1}{a} + a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + b} \right) = \left( {\frac{1}{a} + 4a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + 4b} \right) - 3\left( {a + b} \right)\)
\( \ge 2\sqrt 4  + 2\sqrt 4  - 3\left( {a + b} \right)\), Mà \(a + b \le 1 =  >  - 3\left( {a + b} \right) \ge  - 3\)
                                                  \( =  > VT \ge 4 + 4 - 3 = 5\)
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : \(x \ge 3;y \ge 3\) .
Tìm GTNN của biểu thức : \(A = 21\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\)     
HD :
Bài 6: Cho \(x > 2y > 0,\)Tìm GTNN của: \(P = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}\)
HD :
Ta có : \(P = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\), đặt \(\frac{x}{y} = a =  > a \ge 2 =  > P = a + \frac{1}{a}\)
Dự đoán dấu bằng khi :  \(a = 2 =  > \frac{1}{a} = \frac{1}{2} = k.2 =  > k = \frac{1}{4} =  > P = \left( {\frac{1}{a} + \frac{a}{4}} \right) + \frac{{3a}}{4}\)
  \(P \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{3.2}}{4} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)
Bài 7: Cho a\( \ge \)10, b\( \ge \)100, c\( \ge \)1000, Tìm GTNN của: \(A = a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :  \(a = 10 =  > \frac{1}{a} = \frac{1}{{10}} = k.10 =  > k = \frac{1}{{100}}\), Tương tự với b và c,
Khi đó ta có :
\(B = \left( {\frac{1}{a} + \frac{a}{{100}}} \right) + \frac{{99a}}{{100}} \ge \frac{2}{{\sqrt {100} }} + \frac{{99.10}}{{100}} = \frac{{101}}{{10}}\), Tương tự với b và c
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le 1\),
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
          Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\), Khi đó \(P = \left( {\frac{1}{a} + 9a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + 9b} \right) + \left( {\frac{1}{c} + 9c} \right) - 8\left( {a + b + c} \right)\)
\(P \ge 2\sqrt 9  + 2\sqrt 9  + 2\sqrt 9  - 8\left( {a + b + c} \right)\)\(a + b + c \le 1 =  >  - 8\left( {a + b + c} \right) \ge  - 8\)
Vậy \(P \ge 6 + 6 + 6 - 8 = 10\)
Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le \frac{3}{2}\)
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi : \(a = b = c = \frac{1}{2} =  > P = \left( {\frac{1}{a} + 4a} \right) + \left( {\frac{1}{b} + 4b} \right) + \left( {\frac{1}{c} + 4c} \right) - 3\left( {a + b + c} \right)\)
          \(P \ge 4 + 4 + 4 - 3.\frac{3}{2} = \frac{{15}}{2}\)
Bài 10: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le 1\)
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)
          Khi đó: \(P = \left( {18a + \frac{2}{a}} \right) + \left( {18b + \frac{2}{b}} \right) + \left( {18c + \frac{2}{c}} \right) - 17\left( {a + b + c} \right)\) \( =  > P \ge 19\)
Bài 11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: \(a + b \le 1\), Tìm GTNN của: \(S = ab + \frac{1}{{ab}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : \(a = b = \frac{1}{2} =  > \frac{1}{{ab}} = 4 = 16ab\)
Khi đó ta có : \(S = \left( {16ab + \frac{1}{{ab}}} \right) - 15ab \ge 2\sqrt {16}  - 15ab\)
\(a + b \ge 2\sqrt {ab}  =  > 1 \ge 2\sqrt {ab}  =  > ab \le \frac{1}{4} =  >  - 15ab \ge \frac{{ - 15}}{4}\)
Vậy \(S \ge 2.4 - \frac{{15}}{4} = 8 - \frac{{15}}{4} = \frac{{17}}{4}\)
Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn: \(x + y = 4\), Tìm GTNN của: \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)
HD :
Dự đoán dấu = khi: \(x = y = 2\) khi đó: \(P \ge 2xy + \frac{{33}}{{xy}}\), nên \(2xy = 8 = \frac{k}{4} =  > k = 32\) khi đó:
 \(P = 2xy + \frac{{32}}{{xy}} + \frac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {64}  + \frac{1}{{xy}}\), Mà: \(\frac{1}{{xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{1}{4} =  > P \ge 2.8 + \frac{1}{4}\)
Bài 13: Cho \({\rm{a}},b > 0,{\rm{a}} + {\rm{b}} = 1\) , Tìm GTNN của \(P = {a^2} + {b^2} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\)  
HD:
          Dấu = khi \(a = b = \frac{1}{2}\)  
          Ta có: \(P = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge 2ab + \frac{2}{{ab}} = 2ab + \frac{1}{{8ab}} + \frac{{15}}{{8ab}} \ge 2.\frac{1}{{\sqrt 4 }} + \frac{{15}}{{8ab}}\)  
          Mà \(1 = a + b \ge 2\sqrt {ab}  =  > ab \le \frac{1}{4} =  > \frac{1}{{ab}} \ge 4 =  > \frac{{15}}{{8ab}} \ge \frac{{15}}{2}\) , Thay vào P ta được:
          \(P \ge 1 + \frac{{15}}{2} = \frac{{17}}{2}\)           
Bài 14: Cho \(a,b > 0\) . Tìm GTNN của: \(P = \frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + b}}{{m\sqrt {ab} }} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}}\\{a = b}\end{array}} \right. =  > m = 4\)
Khi đó ta có :  \(P = \frac{{a + b}}{{4\sqrt {ab} }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} + \frac{3}{4}.\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} \ge 2\sqrt {\frac{1}{4}}  + \frac{{3.2\sqrt {ab} }}{{4\sqrt {ab} }} = 1 + \frac{{3.2}}{4} = \frac{5}{2}\)      
Bài 15: Cho \(x > 0\) , Tìm GTNN của \(A = 4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2019\)   
HD :
          Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi \(x = \frac{1}{2}\)  
          Biến đổi \(A = \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + x + \frac{1}{{4x}} + 2018 \ge {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2\sqrt {\frac{1}{4}}  + 2018 = 2019\).     

Bài 16: Cho \(a,b > 0,a + b = \frac{5}{4}\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{4}{a} + \frac{1}{{4b}}\)   
HD :
ấm máy tính, Tìm điểm rơi là : \(a = 1;b = \frac{1}{4}\)  
          Khi đó : \(A = \left( {4a + \frac{4}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{{4b}}} \right) - 4\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt {16}  + 2\sqrt 1  - 4.\frac{5}{4} = 5\) 
Bài 17: Cho \(a + b > 0,a + b \ge 6\) , Tìm GTNN của \(A = 3a + 2b + \frac{6}{a} + \frac{8}{b}\)  
HD :
          Bấm máy, tìm điểm rơi là : \(a = 2;b = 4\)  
          Khi đó ta có :
\(A = \left( {3a + \frac{6}{a}} \right) + \left( {2b + \frac{8}{b}} \right) = \left( {\frac{6}{a} + \frac{{3a}}{2}} \right) + \left( {\frac{8}{b} + \frac{b}{2}} \right) + \frac{3}{2}\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt 9  + 2\sqrt 4  + \frac{3}{2}.6 = 19\)      
Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: \(x + y \ge 6\) , Tìm GTNN của: \(P = 5x + 3y + \frac{{10}}{x} + \frac{8}{y}\)
HD :
Dấu bằng khi :\(x \ne y\)  , Bấm máy , Tìm điểm rơi là \(x = 2,y = 4\)   
Khi đó ta có : \(x = 2 =  > \frac{{10}}{x} = 5 = k.5.2 =  > k = \frac{1}{2},,\frac{8}{4} = 2 = 3.4.h =  > h = \frac{1}{6}\)
=>\(P = \left( {\frac{{10}}{x} + \frac{{5x}}{2}} \right) + \left( {\frac{8}{y} + \frac{{3y}}{6}} \right) + \frac{{5x}}{2} + \frac{{5y}}{2} \ge 2.5 + 2.2 + \frac{5}{2}.6 = 29\)
Bài 19: Cho \(x,y > 0\)  và  \(x + 2y \ge 2\) , Tìm GTNN của \(A = 2{x^2} + 16{y^2} + \frac{2}{x} + \frac{3}{y}\)  
HD :
          Dự đoán điểm rơi :\(x + 2y = 2 =  > x = 2 - 2y\) Thay vào A, bấm máy cho ta \(x = 1;y = \frac{1}{2}\)  
          Khi đó : \(A = 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 4\left( {4{y^2} + 1} \right) + \frac{2}{x} + \frac{3}{y} - 6 \ge 4x + 16y + \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \left( {4x + \frac{2}{x}} \right) + \left( {16y + \frac{3}{y}} \right)\)  
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :\(a + 2b + 3c \ge 20\),  
Tìm GTNN của: \(P = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{{2b}} + \frac{4}{c}\)
HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là : \(a = 2;b = 3;c = 4\)    
          Khi đó : \(P = \left( {\frac{3}{a} + \frac{{3a}}{4}} \right) + \left( {\frac{9}{{2b}} + \frac{b}{2}} \right) + \left( {\frac{4}{c} + \frac{c}{4}} \right) + \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{{3c}}{4}\)
   \(P \ge 3 + 3 + 2 + \frac{1}{4}\left( {a + 2b + 3c} \right) \ge 8 + \frac{1}{4}.20\)
Bài 21: Cho \(a,b > 0\)  thỏa mãn : \(a \ge 2b\) , Tìm GTNN của biểu thức \(A = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}}\)    
HD :
          Ta chia xuống, được : \(A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) , Đặt \(\frac{a}{b} = t,\left( {t \ge 2} \right)\), Khi đó \(A = t + \frac{1}{t}\)
          Dấu bằng xảy ra khi \(t = 2\) , Nên \(A = \left( {\frac{t}{4} + \frac{1}{t}} \right) + \frac{{3t}}{4} \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{3.2}}{4} = \frac{5}{2}\)       
Bài 22: Cho \(x,y > 0\)  thỏa mãn: \(xy + 4 \le 2y\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{xy}}\)   
HD:
          Từ \(2y \ge xy + 4 \ge 4\sqrt {xy}  =  > \sqrt y  \ge 2\sqrt x  =  > \frac{x}{y} \le \frac{1}{4}\)  
          Từ A chia xuống ta được: \(A = \frac{x}{y} + \frac{{2y}}{x}\) , Đặt \(\frac{x}{y} = t,\left( {t \le \frac{1}{4}} \right)\) 
          Khi đó \(A = t + \frac{2}{t}\) , Dấu = khi \(t = \frac{1}{4}\)  
Bài 23: Cho \(a,b > 0\)  thỏa mãn: \(a \ge 2b\) . Tìm GTNN của \(P = \frac{{2{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab}}\)  
HD:
          Ta chia xuống, được: \(P = \frac{{2.a}}{b} + \frac{b}{a} - 2\) , Đặt \(\frac{a}{b} = t,\left( {t \ge 2} \right)\) , Khi đó \(P = 2t + \frac{1}{t} - 2\) 
          Dấu bằng xảy ra khi \(t = 2 =  > P = \left( {\frac{1}{t} + \frac{t}{4}} \right) + \frac{{7t}}{4} - 2 \ge \frac{2}{{\sqrt 4 }} + \frac{{7.2}}{4} - 2 = \frac{5}{2}\)   
Bài 24: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{{a + b}} \ge 3\)
HD :
Ta có : \(\left\langle  =  \right\rangle \frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{2}{{a + b}} = a + b + \frac{2}{{a + b}} = \frac{{a + b}}{2} + \left( {\frac{{a + b}}{2} + \frac{2}{{a + b}}} \right) \ge \frac{{2\sqrt {ab} }}{2} + 2 = 1 + 2 = 3\)
Bài 25: CMR: với a, b, c > 0 thì : \(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\)
HD:
Ta có: \(\left( {\frac{{{a^2}}}{b} + b} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{c} + c} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{a} + a} \right) - \left( {a + b + c} \right) \ge 2a + 2b + 2c - \left( {a + b + c} \right) = a + b + c = VP\)
Bài 26: Cho a, b, c > 0, CMR: \(\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} \ge \frac{2}{b}}\\{\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{c}}\\{\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{a}}\end{array}} \right. =  > VT + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)=> ĐPCM
Bài 27:  Cho a, b, c > 0, CMR: \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}\)
HD :
Ta có : \(\left( {\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4}} \right) \ge a\), Tương tự ta có : \(\frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} \ge b\)\(\frac{{{c^2}}}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} \ge c\)
Cộng theo vế ta được :
\(VT + \frac{{a + b + c}}{2} \ge a + b + c =  > VT \ge \frac{{a + b + c}}{2}\)
 

Bài 28: Cho \(a,b,c > 0\) , Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + 2b}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}\)   
HD:
          Dự đoán dấu = khi \(a = b = c\) , Khi đó: \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} = \frac{{{a^2}}}{{3a}} = \frac{a}{3} = k.\left( {b + 2c} \right) = k.3a =  > k = \frac{1}{9}\)   
          Ta biến đổi:  \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{b + 2c}}{9} \ge 2.\sqrt {\frac{{{a^2}}}{9}}  = \frac{{2a}}{3}\) , làm tương tự và cộng theo vế ta được:
          \(VT + \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{9} \ge \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3} =  > VT \ge \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3} - \frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{3} = \frac{{a + b + c}}{3}\)     
Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: \(P = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  \(x = y = z = \frac{2}{3}\),  Khi đó : \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} = \frac{1}{3} = \frac{{y + z}}{k} =  > k = 4\)
Nên : \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{y + z}}{4} \ge x\), Tương tự ta có :  \(P + \frac{{x + y + z}}{2} \ge x + y + z =  > P \ge \frac{{x + y + z}}{2} = 1\)
Bài 30: Cho x,y > 1, CMR :\(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x - 1}} \ge 8\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi \(x = y\), Thay vào ta được :  \(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = 8 =  > x = y = 2\)
Khi đó : \(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + 4\left( {y - 1} \right) \ge 4x\)\(\frac{{{y^2}}}{{x - 1}} + 4\left( {x - 1} \right) \ge 4y\)
\(VT \ge 4\left( {x + y} \right) - 4\left( {y - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 8\)
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR : \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\)
HD:
Ta có: \(\left( {\frac{{{a^3}}}{b} + {b^2}} \right) + \left( {\frac{{{b^3}}}{c} + {c^2}} \right) + \left( {\frac{{{c^3}}}{a} + {a^2}} \right) - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Mà: \(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{b} \ge \frac{{ab\left( {a + b} \right)}}{b} = a\left( {a + b} \right) = {a^2} + ab\)
Tương tự => \(\frac{{{b^3}}}{c} + {c^2} \ge {b^2} + bc,\frac{{{c^3}}}{a} + {a^2} \ge {c^2} + ca\)
Khi đó VT \( \ge \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = ab + bc + ca\)
Bài 32: Cho \(a,b,c > 0\) , Chứng minh rằng : \(P = \frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)   
HD:
          Dấu bằng khi \(a = b = c\), và để sau khi Cô si vẫn còn \({a^2}\)  thì ta làm như sau:
          Xét \(\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{a\left( {b + 2c} \right)}}{9} \ge \frac{{2.{a^2}}}{3}\) , Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
          \(P + \frac{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left\langle  =  \right\rangle P \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \frac{{ab + bc + ca}}{3}\)        
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca =  >  - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge  - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) =  > P \ge \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{3} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)           \(P \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)    
Bài 33: Cho \(x,y > 0,xy \ge 6,y \ge 3\) , Tìm GTNN của \(P = x + y + 2019\)  
HD :
          Dự đoán điểm rơi tại \(y = 3,x = 2\) , Khi đó \(y = x + 1\) ,
          Cô si cho hai số \(x + 1;y > 0\) , ta được :
\(P = \left( {x + 1} \right) + y + 2018 \ge 2\sqrt {y\left( {x + 1} \right)}  + 2018 = 2.\sqrt {xy + y}  + 2018 \ge 2\sqrt {6 + 3}  + 2018 = 2024\)  
Bài 34:  Cho \(x,y \ge 0,x + y = 1\) , Tìm GTLN và GTNN của \(A = {x^2} + {y^2}\)   
HD:
          Ta có: \(0 \le x,y \le 1 =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \le x}\\{{y^2} \le y}\end{array}} \right. =  > A \le x + y = 1\)   
          Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi \(x = y = \frac{1}{2}\)
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + \frac{1}{4} \ge x}\\{{y^2} + \frac{1}{4} \ge y}\end{array}} \right. =  > A + \frac{1}{2} \ge x + y = 1 =  > A \ge \frac{1}{2}\)  




 
 

Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số

Bài 1: Cho a\( \ge \)2, Tìm Min của: \(S = a + \frac{1}{{{a^2}}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  a = 2 => \(\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{4} = h.2 =  > h = \frac{1}{8}\), Khi đó ta có :
        \(S = \left( {\frac{a}{8} + \frac{a}{8} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \frac{{3a}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{64}}}} + \frac{{3.2}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}\)
Bài 2: Cho \(a \ge 2\) , Tìm GTNN của : \(P = x + \frac{3}{{{x^3}}}\)   
HD :
          Dự đoán dấu = khi \(x = 2\) , Khi đó :\(\frac{3}{{{x^2}}} = \frac{3}{4} = k.x = 2k =  > k = \frac{3}{8}\)     
          Khi đó : \(P = \frac{3}{{{x^2}}} + \left( {\frac{{3x}}{8} + \frac{{3x}}{8} + \frac{x}{4}} \right) = \left( {\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{{3x}}{8} + \frac{{3x}}{8}} \right) + \frac{x}{4} \ge 3.3.\sqrt[3]{{\frac{1}{{64}}}} + \frac{2}{4} = \frac{9}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{11}}{4}\)    
Bài 3: Cho \(0 < a \le \frac{1}{2}\), Tìm Min của: \(S = 2a + \frac{1}{{{a^2}}}\)
HD ;
Dự đoán dấu bằng khi \(a = \frac{1}{2} =  > \frac{1}{{{a^2}}} = 4 = k.2.\frac{1}{2} =  > k = 4\), Khi đó ta có :
\(S = \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + 8a + 8a} \right) - 14a \ge 3\sqrt[3]{{64}} - 14a\), mà \(a \le \frac{1}{2} =  >  - 14a \ge  - 7 =  > S \ge 3.4 - 7 = 5\)
Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: \(a + b \le 1\), Tìm min của \(A = a + b + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\)
HD :
Dự đoán dấu bằng khi  \(a = b = \frac{1}{2} =  > A = \left( {8a + 8a + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \left( {8b + 9b + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) - 15\left( {a + b} \right)\)
                                              \( =  > S \ge 3.4 + 3.4 - 15.1 = 9\)
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le \frac{3}{2}\), Tìm Min \(P = a + b + c + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)
HD :
          Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{2}\)
          Khi đoa : \(P = \left( {8a + 8a + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \left( {8b + 8b + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + \left( {8c + 8c + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) - 15\left( {a + b + c} \right)\)
          \(P \ge 3.4 + 3.4 + 3.4 - 15.\frac{3}{2} = 36 - \frac{{45}}{2} = \frac{{27}}{2}\)
Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c \le \frac{3}{2}\),  Tìm Min:\(A = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
Dấu bằng khi : \(a = b = c = \frac{1}{2}\)
        \( =  > P = \left( {{a^2} + \frac{1}{{8a}} + \frac{1}{{8a}}} \right) + \left( {{b^2} + \frac{1}{{8b}} + \frac{1}{{8b}}} \right) + \left( {{c^2} + \frac{1}{{8c}} + \frac{1}{{8c}}} \right) + \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
                         \(P \ge \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\left( {\frac{9}{{a + b + c}}} \right) = \frac{{27}}{4}\)
Bài 7: Cho \(x \ge 2\) , Tìm GTNN của : \(P = 2x + \frac{3}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}\)   
HD :
          Dự đoán dấu = khi \(x = 2\), Khi đó : \(\frac{4}{{{x^2}}} = 1 = k.x = k.2 =  > k = \frac{1}{2}\) , Vậy ta tách :
          \(P = \left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + x} \right) + \frac{3}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = \left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) + \left( {x + \frac{3}{x}} \right)\) , lại nhẩm tiếp : \(\frac{3}{x} = \frac{3}{2} = k.x = k.2 =  > k = \frac{3}{4}\)  
          Nên \(P = \left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) + \left( {\frac{3}{x} + \frac{{3x}}{4}} \right) + \frac{x}{4} \ge 3 + 2\sqrt {\frac{9}{4}}  + \frac{2}{4} = 3 + 3 + \frac{1}{2} = \frac{{13}}{2}\)        
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: \(a + b + c = 1\)
Tìm Min của: \(A = \frac{{{a^3}}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{\left( {1 - {c^2}} \right)}}\)
HD :
Dấu bằng khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\) Khi đó :
\(\frac{{{a^3}}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} + \frac{{1 - a}}{8} + \frac{{1 - a}}{8} \ge \frac{3}{4}a\), Tương tự ta cũng có : \(\frac{{{b^3}}}{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}} + \frac{{1 - b}}{8} + \frac{{1 - b}}{8} \ge \frac{3}{4}b\)
\(\frac{{{c^3}}}{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}} + \frac{{1 - c}}{8} + \frac{{1 - c}}{8} \ge \frac{3}{4}c\)   
Bài 9: Cho \(a,b,c > 0\) , thỏa mãn : \(ab + bc + ca = 3\) ,
Tìm GTNN của \(P = \frac{{{a^3}}}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{{{b^3}}}{{\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}} + \frac{{{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}\)     
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi \(a = b = c = 1\) 
          Xét \(\frac{{{a^3}}}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{{1 + b}}{8} + \frac{{1 + c}}{8} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}}}{{64}}}} = \frac{{3a}}{4}\)  , Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
          \(P + \frac{{\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right)}}{4} \ge \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{4} =  > P \ge \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{4} - \frac{{a + b + c}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{{a + b + c}}{2} - \frac{3}{4}\)   
          Mà \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 9 =  > a + b + c \ge 3\) , Thay vào P ta được : \(P \ge \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)      
Bài 10: Cho \(x,y,z > 0\)  thỏa mãn : \(xy + yz + zx \ge 3\) , Tìm GTNN của : \(P = \frac{{{x^3}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^3}}}{{z + 1}} + \frac{{{z^3}}}{{x + 1}}\)   
HD :
          Dự đoán dấu bằng khi \(x = y = z = 1\)   
          Xét \(\frac{{{x^3}}}{{y + 1}} + \frac{{y + 1}}{4} + \frac{1}{2} \ge \frac{{3.x}}{2}\)   , Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
          \(P + \frac{{x + y + z}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \ge \frac{{3\left( {x + y + z} \right)}}{2} =  > P \ge \frac{{5\left( {x + y + z} \right)}}{4} - \frac{9}{4}\)     
          Mà \({\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 3.3 = 9 =  > x + y + z \ge 3\) ,
Thay vào P ta được : \(P \ge \frac{{5.3}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{2}\)    
 

Bài 11: Cho \(x,y,z > 0\)  thỏa mãn: \(x + y + z = 11\) , Tìm GTNN của \(P = {x^3} + 4{y^3} + 9{z^3}\)  
HD:
          Các thầy cô có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau:
          Dự đoán \(x = a,y = b,z = c =  > a + b + c = 11\)\(P \ge k\left( {x + y + z} \right)\)  
          Áp dụng cô si cho 3 số \({x^3},{a^3},{a^3}\)  ta được: \({x^3} + {a^3} + {a^3} \ge 3x{a^2}\)         (1)
          Tương tự ta cũng có : \({y^3} + {b^3} + {b^3} \ge 3y{b^2}\)                                           (2)
\({z^3} + {c^3} + {c^3} \ge 3z{c^2}\)                                                                 (3)
Để có được biểu thức P ta cộng \(\left( 1 \right) + 4.\left( 2 \right) + 9\left( 3 \right)\)  ta được :
\(\left( {{x^3} + 2{a^3}} \right) + 4\left( {{y^3} + 2{b^3}} \right) + 9\left( {{z^3} + 2{c^3}} \right) \ge 3\left( {{a^2}x + {b^2}y + {c^2}z} \right)\)   
\( =  > P + 2\left( {{a^3} + 4{b^3} + 9{c^3}} \right) \ge 3\left( {{a^2}x + 4{b^2}y + 9{c^2}z} \right)\) , đồng nhất với \(k\left( {x + y + z} \right)\)  ta được :
\({a^2} = 4{b^2} = 9{c^2} =  > a = 2b = 3c\) , mà \(a + b + c = 11 =  > a = 6 = x,b = 3 = y,c = 2 = z\)     
Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau :
          \({x^3} + {6^3} + {6^3} \ge 3.36x\) (4) , \({y^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3.9y\)  (5)  và \({z^3} + {2^3} + {2^3} \ge 3.4z\)  (6)
Cộng \(\left( 4 \right) + 4.\left( 5 \right) + 9.\left( 6 \right) = \left( {{x^3} + 4{y^3} + 9{z^3}} \right) + {2.6^3} + {8.3^3} + {18.2^3} \ge 108\left( {x + y + z} \right) = 11.108\)      \(P \ge 396\)    









 
 

Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU

Bài 1: Cho \(a,b > 0;a + b = 4ab\) . Tìm GTNN của  \(A = \frac{a}{{4{b^2} + 1}} + \frac{b}{{4{a^2} + 1}}\)  
HD:
            Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{2}\)  
            Nếu co si mẫu thì ta được: \(4{b^2} + 1 \ge 4b =  > \frac{1}{{4{b^2} + 1}} \le \frac{1}{{4b}}\) , Như vậy ta không thể tìm được GTNN
            Khi đó ta biến đổi:
\(A = \left( {a - \frac{{4a{b^2}}}{{4{b^2} + 1}}} \right) + \left( {b - \frac{{4{a^2}b}}{{4{a^2} + 1}}} \right) \ge \left( {a - \frac{{4a{b^2}}}{{4b}}} \right) + \left( {b - \frac{{4{a^2}b}}{{4a}}} \right) = \left( {a + b} \right) - 2ab = 4ab - 2ab = 2ab\)   
            Mà \(a + b = 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2} =  > {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \ge 0 =  > a + b \ge 1\)  Vì \(a,b > 0 =  > a + b > 0\) 
            Khi đó : \(4ab = a + b \ge 1 =  > 2ab \ge \frac{1}{2} =  > A \ge \frac{1}{2}\)   
Bài 2 : Cho \(x,y,{\rm{z}} > 0\)  và \(x + y + z = 3\) , Tìm GTNN của : \(P = \frac{1}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{y^2} + 1}} + \frac{1}{{{z^2} + 1}}\)   
HD :
            Dự đoán dấu bằng khi \(x = y = z = 1\)
            Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được : \({x^2} + 1 \ge 2x =  > \frac{1}{{{x^2} + 1}} \le \frac{1}{{2x}}\) thì ta đều không tìm ra được GTNN.
            Cách 1: Ta có thể áp dụng BĐT \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} =  > \)  \(P \ge \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 3}}\)  
            Mà \({\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3.\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) =  > {x^2} + {y^2} + {z^2} \le \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3} = \frac{9}{3} = 3\) , Thay vào P ta được :
            \(P \ge \frac{9}{{3 + 3}} = \frac{3}{2}\)  
Cách 2: Hoặc ta biến đổi : \(\frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}\) , Rồi mới Cô si dưới mẫu :
Khi đó ta có : \({x^2} + 1 \ge 2x =  > \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \le \frac{{{x^2}}}{{2x}} =  > 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 1 - \frac{x}{2}\)   , làm tương tự và cộng theo vế :
\(P \ge 3 - \left( {\frac{{x + y + z}}{2}} \right) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\) 
Bài 3 : Cho \(x,y,z > 0\)  và \(x + y + z = 3\) , Tìm GTNN của   \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 2{y^3}}} + \frac{{{y^2}}}{{y + 2{z^3}}} + \frac{{{z^2}}}{{z + 2{x^3}}}\)   
HD :
            Dự đoán dấu = khi \(x = y = z = 1\)  
            Xét \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2{y^3}}} = \frac{{x.x}}{{x + 2{y^3}}} = \frac{{x\left( {x + 2{y^3}} \right) - 2x{y^3}}}{{x + 2{y^3}}} = x - \frac{{2x{y^3}}}{{x + 2{y^3}}}\) , Vì dấu = khi \(x = y = z\)     
Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số : \(x + {y^3} + {y^3} \ge 3.\sqrt[3]{{x{y^6}}} = 3.{y^2}\sqrt[3]{x} =  > x - \frac{{2x{y^3}}}{{x + 2{y^3}}} \ge x - \frac{{2y.\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3}\)      
Làm tương tự và cộng theo vế ta được : \(P \ge \left( {x + y + z} \right) - \frac{2}{3}\left( {y\sqrt[3]{{{x^2}}} + z\sqrt[3]{{{y^2}}} + x\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)\)  
Mà \(3y\sqrt[3]{{{x^2}}} = 3.\sqrt[3]{{{x^2}{y^3}}} \le xy + xy + y =  > y\sqrt[3]{{{x^2}}} \le \frac{{2xy + y}}{3}\) , Làm tương tự và công theo vế ta có :
\(P \ge 3 - \frac{3}{2}\left[ {\frac{{2\left( {xy + yz + zx} \right)}}{3} + \frac{{x + y + z}}{3}} \right]\) ,
Và  \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx =  > {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right) =  > xy + yz + zx \le 3\)   
Thay vào P ta được : \(P \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\)        
 


 
 

Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN

Bài 1: Cho \(x,y,z > 0\)  và \(x + y + z \le 3\) , Tìm GTNN của: \(P = {x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{{20}}{{x + y + z}}\)   
HD:
          Ta sẽ dồn \({x^2} + {y^2} + {z^2}\)  về \(x + y + z\)  hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi người.
          Dự đoán dấu = khi \(x = y = z = 1\)  
          Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:
          \(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\)   rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi
          Cách 2: Ta có \({x^2} + 1 \ge 2x\) , \({y^2} + 1 \ge 2y\)  và \({z^2} + 1 \ge 2z\) , Cộng theo vế ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2\left( {x + y + z} \right) =  > P \ge 2\left( {x + y + z} \right) - 3 + \frac{{20}}{{x + y + z}}\)  , đặt \(x + y + z = t,\left( {0 < t \le 3} \right)\)
Dấu = khi \(t = 3 =  > P = 2t + \frac{{20}}{t} - 3 = 2t + \frac{{18}}{t} + \frac{2}{t} - 3 \ge 2.\sqrt {36}  + \frac{2}{3} - 3 = \frac{{29}}{3}\)    
Bài 2: Cho \(a,b,c \ge 1\) , Tìm GTLN của: \(P = \left( {\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}}} \right) + \sqrt {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \)   
HD:
          Ta sẽ dồn về biến \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)  , Dự đoán dấu = khi \(a = b = c = 1\)   
          Ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab =  > \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} \le \frac{a}{{2ab}} = \frac{1}{{2b}}\) , Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
          \(P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \sqrt {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \)    , Đặt \(t = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) , Dự đoán điểm rơi \(0 < t \le 3\)  
          Và \(P \le \frac{t}{2} + \sqrt t  \le \frac{3}{2} + \sqrt 3 \)        
Bài 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: \(\frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}}}{c} + \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}} \ge \frac{9}{2}\)
HD :
Ta có : \(\frac{{{a^2}}}{c} + c \ge 2a\), \(\frac{{{b^2}}}{a} + a \ge 2b,\frac{{{c^2}}}{b} + b \ge 2c\)
Ki đó \(VT \ge a + b + c + \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2} + \left( {\frac{{a + b + c}}{2} + \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}} \right) \ge \frac{9}{2}\)
          \(VT \ge \frac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{2} + \frac{{2.3}}{2} = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}\)

 
 

Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG

Bài 1: Tìm min của biểu thức: \(A = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{1}{x}\left( {0 < x < 1} \right)\)
HD:
Tách \(A = \frac{{2 - 2x + 2x}}{{1 - x}} + \frac{{1 - x + x}}{x} = 3 + \frac{{2x}}{{1 - x}} + \frac{{1 - x}}{x} \ge 3 + 2\sqrt {\frac{{2x}}{{1 - x}}.\frac{{1 - x}}{x}}  = 3 + 2\sqrt 2 \)
          Dấu ‘’ = ’’ khi \(\frac{{2x}}{{1 - x}} = \frac{{1 - x}}{x} =  > x = \sqrt 2  - 1\)
Bài 2: Tìm min của: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{5}{x}\) với 0 < x < 1
HD:
Ta có: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{5 - 5x + 5x}}{x} = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{5\left( {1 - x} \right)}}{x} + 5 \ge 2\sqrt 5  + 5\), dấu bằng khi \(\frac{x}{{1 - x}} = \frac{{5\left( {1 - x} \right)}}{x}\)
Bài 3: Tìm min của: \(C = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) (x > 1)
HD:
\(C = \frac{{x - 1 + 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2}\), Dấu bằng khi \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}}\)
Bài 4: Cho 0 < x < 1, Tìm min của: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{4}{x}\)
HD:
Ta có: \(B = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4 - 4x + 4x}}{x} = 4 + \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 4 + 4\), dấu bằng khi \(\frac{x}{{1 - x}} = \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\)

Bài 5: Tìm min của biểu thức: \(B = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) với \(x \ge 0\)
HD:
Tách \(A = \frac{{{x^2} - 4 + 5}}{{x + 2}} = x - 2 + \frac{5}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{5}{{x + 2}} - 4 \ge 2\sqrt 5  - 4\)
          Dấu ‘’=’’ khi \(x + 2 = \frac{5}{{x + 2}} =  > x + 2 =  \pm \sqrt 5 \)
Bài 6: Tìm min của: \(C = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) với x >1
HD:
Ta có: \(C = \frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2 \ge 2 + 2\), Dấu bằng khi \(x - 1 = \frac{1}{{x - 1}} =  > x = 2\)
Bài 7: Tìm min của: \(A = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)với x > 0
HD:
Tách \(A = \frac{{{x^2} + x + 1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} = 1 - \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1 + \frac{1}{x}}}\), mà \(x + \frac{1}{x} \ge 2 =  > \frac{2}{{x + \frac{1}{x} + 1}} \le \frac{2}{3}\)
 

Bài 8: Tìm min của: \(B = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{x}\) với \(x > 0\)
HD:
Ta có: \(B = x + 4 + \frac{4}{x} \ge 4 + 4 = 8\), dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{4}{x} =  > x = 2\)
Bài 9: Tìm min của: \(B = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\) với x > 0
HD:
Tách \(B = x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \ge 2 + 2\), dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{x} =  > x = 1\)
Bài 10: Tìm min của: \(A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2}\) với \(x \ne  - 1\)
HD:
Tách \(A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left[ {\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt 2  + 2\)
          Dấu bằng khi \(2{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} =  > {\left( {x + 1} \right)^4} = \frac{1}{2} =  > x + 1 =  \pm \sqrt[4]{{\frac{1}{2}}}\)
Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của: \(P = {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} - \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) - 2\)
HD:
Đặt \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t =  > P = {t^2} - t - 2 = {\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4}\), mà \(t \ge 2 =  > P \ge {\left( {2 - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4} = 0\)
Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của: \(A = \frac{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}{x}\) với x > 0
HD:
Ta có: \(B = \frac{{{x^2} + ax + bx + ab}}{x} = a + b + \left( {x + \frac{{ab}}{x}} \right) \ge a + b + 2\sqrt {ab}  = {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}\)
Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1\),
Tìm x, y để \(S = x + y\) đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
Ta có \(S = \left( {x + y} \right)\left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{y}} \right) = a + b + \frac{{bx}}{y} + \frac{{ay}}{x} \ge a + b + 2\sqrt {ab} \), min \(S = {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}\)
          Dấu bằng khi \(\frac{{ay}}{x} = \frac{{bx}}{y}\)\(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1 =  > x = a + \sqrt {ab} ,y = b + \sqrt {ab} \)
Bài 14: Cho x, y > 0, 4xy = 1 và x + y = 1, Tìm min của: \(A = \frac{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 12xy}}{{x + y}}\)
HD:
Ta có :\(A = \frac{{2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + 12xy}}{{x + y}} = \frac{{2{{\left( {x + y} \right)}^2} + 8xy}}{{x + y}} = 2\left[ {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right]\),
Co si\(x + y + \frac{1}{{x + y}} \ge 2\)   => \(A \ge 4\) dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{4xy = 1}\end{array}} \right. =  > x = y = \frac{1}{2}\)
BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ
 
  1. LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
         
Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả của bất đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ.
2. Tổng quát:
          Ở chương trình THCS. Tài Liệu Toán chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho 2
hoặc 3 số.
  • Với các số \({b_1},{b_2},...{b_n} > 0\) , ta có: \(\frac{{a_1^2}}{{{b_1}}} + \frac{{a_2^2}}{{{b_2}}} + ... + \frac{{a_n^2}}{{{b_n}}} \ge \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2}}}{{\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)}}\)  
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)  
  • Với hai số \(a,b > 0\)  ta có : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{\left( {a + b} \right)}}\) , Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} =  > a = b\)   
  • Với ba số \(a,b,c > 0\)  thì ta có : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\) , Dấu “ = “ khi và chỉ khi: \(a = b = c\)           
 
  1. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG

Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
HD :
Ta có: gt \(\left\langle  =  \right\rangle \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\left\langle  =  \right\rangle {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\left\langle  =  \right\rangle {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có : \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{4}{{2b}} = \frac{2}{b}\)
Tương tự ta cũng có : \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\)\(\frac{1}{{c + a - b}} + \frac{1}{{a + b - c}} \ge \frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 3: Cho \(x > 0,y > 0,x + y \le 1\), CMR: \(\frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}} \ge 4\)
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
\(\frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\), Vì \(x + y \le 1 =  > {\left( {x + y} \right)^2} \le 1 =  > \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 1\)

 
 

Dạng 2 : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ

Bài 1: Cho \(a + b \le 1\)\(a,b > 0\) , Tìm min của: \(P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{ab}}\)
HD :
Dấu bằng khi \(a = b = \frac{1}{2}\)
Khi đó : \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{2ab}}\)
\(P \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{2}{{4ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 6\)
Bài 2: Cho \(a,b > 0;a + b \le 1\) , Tìm GTNN của biểu thức : \(A = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}\)    
HD:
          Dự đoán dấu = khi \(a = b = \frac{1}{2}\) , Để ý hai biểu thức dưới mẫu, có thể nhóm chúng được lại với nhau
          Nên ta sử dụng BĐT phụ: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)  
          Khi đó: \(A = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 4\)  
Bài 3: Cho \(a,b > 0,a + b = 1\) , Tìm GTNN của: \(A = \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{2}{{ab}}\)   
HD:
          Dấu bằng khi \(a = b = \frac{1}{2}\) ,  Biến đổi A thành:
\(A = \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{4}{{2ab}} = \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{3}{{2ab}} + \frac{1}{{2ab}} = 3\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge 3.\frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = 14\)  
Bài 4: Cho a,b>0 và \(a + b \le 1\), Tìm GTNN của: \(P = \frac{1}{{1 + {a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}\)
HD :
Dấu bằng khi : \(a = b = \frac{1}{2}\). Khi đó : \(\frac{1}{{1 + {a^2} + {b^2}}} = \frac{1}{{3.2ab}}\)
\( =  > P = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{6ab}}} \right) + \frac{1}{{3ab}} \ge \frac{4}{{\left( {{a^2} + {b^2} + 6ab + 1} \right)}} + \frac{1}{{3ab}}\) =>\(P \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 4ab + 1}} + \frac{1}{{3ab}}\)
Mặt khác : \(a + b \ge 2\sqrt {ab}  =  > ab \le \frac{1}{4} =  > P \ge \frac{4}{{2 + 1}} + \frac{1}{{3.\frac{1}{4}}} = \frac{8}{3}\)
Dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + {a^2} + {b^2} = 6ab}\\{a = b}\\{a + b = 1}\end{array}} \right. =  > a = b = \frac{1}{2}\)
 

Bài 5: Cho \(x,y > 0,x + y \le 4\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{35}}{{xy}} + 2xy\)   
HD :
          Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = 2\)  
          Biến đổi \(A = \frac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{2xy}} + \frac{{34}}{{xy}} + 2xy = 2\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {2xy + \frac{{32}}{{xy}}} \right) + \frac{2}{{xy}}\)   
          \(A \ge \frac{{2.4}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 16 + \frac{8}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 17\)    
Bài 6: Cho a,b>0, \(a + b \le 1\), Tìm Min của: \(P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + 4ab\)
HD :
Dấu bằng khi \(a = b = \frac{1}{2}\)
Khi đó : \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2ab}} + 4ab} \right) \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \left( {4ab + \frac{1}{{4ab}}} \right) + \frac{1}{{4ab}}\)
\(P \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2.\sqrt {\frac{{4ab}}{{4ab}}}  + \frac{1}{{4.\frac{1}{4}}} \ge 7\). Dấu bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 2ab}\\{{a^2}{b^2} = \frac{1}{{16}}}\\{a + b = 1}\end{array}} \right. =  > a = b = \frac{1}{2}\)
Bài 7: Cho \(a,b > 0,a + b \le 4\) , Tìm GTNN của biểu thức: \(P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\)   
HD:
          Dấu = khi \(a = b = 2\) , và mẫu có thể ghép được lại với nhau. Nên ta biến đổi P thành:
          \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}}} \right) + \frac{{49}}{{2ab}} + ab \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \left( {ab + \frac{{16}}{{ab}}} \right) + \frac{{17}}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 8 + \frac{{34}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)   
          \(P \ge \frac{{38}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 8 \ge \frac{{38}}{{16}} + 8 = \frac{{83}}{8}\) , Vì \(a + b \le 4 =  > {\left( {a + b} \right)^2} \le 16\)   
Bài 8: Cho \(x \ge 2,x + y \ge 3\), y > 0 , Tìm Min của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + y}}\)
HD :
          Ta có : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{4}{{x + y}} =  > \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} =  > P \ge {x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}}\)
          \(P \ge \left( {{x^2} + \frac{5}{{4x}}} \right) + \left( {{y^2} + \frac{1}{{4y}}} \right)\) , Điểm rơi cosi : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y = 3}\end{array}} \right.\)
Bài 9: Cho \(x,y > 0;x + y = 3\) , Tìm GTNN của \(A = \frac{5}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{3}{{xy}}\)  
HD:
          Dấu bằng khi \(x = y = \frac{3}{2}\) , để ý thì dưới mẫu có thể kết hợp lại được với nhau, ta biến đổi:
          \(A = \frac{5}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{6}{{2xy}} = \frac{5}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{5}{{2xy}} + \frac{1}{{2xy}} = 5\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \frac{1}{{2xy}} \ge 5.\frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{1}{{2xy}}\)  
          Mà \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy =  > \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \le \frac{1}{{4xy}} =  > \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) , Thay vào A ta được:
          \(A \ge \frac{{20}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{22}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{22}}{9}\)   
Bài 10: Cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4,\)CMR: \(\frac{1}{{2a + b + c}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + b + 2c}} \le 1\)
HD :
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
Dấu ’’=’’ xảy ra khi \(a = b = c = \frac{3}{4} =  > 2a = b + c\)
Khi đó ta có :
                   \(\frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{2a + b + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
tương tự ta có :
                   \(\frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{a + 2b + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) \le \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{2b}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right)} \right] = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right)\)
\(\frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{a + b + 2c}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\), Khi đó \(VT \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}} \right) = 1\)

 

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Giới thiệu về Website

Website cá nhân&nbsp;cung cấp thông tin hỗ trợ giáo viên trung học tỉnh Đồng Tháp thực hiện chương trình giáo dục phổ thông 2018

Đăng nhập hệ thống LMS
Thăm dò ý kiến

Bạn có tìm được thông tin hữu ích?

Thống kê
  • Đang truy cập5
  • Máy chủ tìm kiếm1
  • Khách viếng thăm4
  • Hôm nay561
  • Tháng hiện tại6,729
  • Tổng lượt truy cập527,199
Đăng nhập
Hãy đăng nhập thành viên để trải nghiệm đầy đủ các tiện ích trên site
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây